zmienne niezależne

[beataa06]

W pewnej grupie ćwiczeniowej z topologii (na studiach II stopnia) jest 4 studentów i 6 studentek pierwszego roku i 6 studentów drugiego roku. Ile studentek drugiego roku musi dojść do tej grupy, aby przy losowaniu z niej jednej osoby płeć i rok studiów wylosowanej osoby były zmiennymi niezależnymi?

Z def niezależności \(\displaystyle{ P(plec)\adot P(rok) = P(plec \wedge rok)}\)
I wypisałam sobie też, że:
\(\displaystyle{ P(Irok)= \frac{10}{16+d} ,P(IIrok) = \frac{6+d}{16+d} ,P(ch)= \frac{10}{16+d} ,P(d)= \frac{6+d}{16+d},\\
P(c \cap Irok)= \frac{4}{10} , P(d \cap Irok)=\frac{6}{10}, P(c \cap IIrok)=\frac{6}{6+d}, P(d \cap IIrok)=\frac{d}{6+d}}\),
gdzie \(\displaystyle{ c}\)-chłopak, \(\displaystyle{ d}\)-dziewczyna i \(\displaystyle{ d}\) jest naszą szukaną liczbą

Tylko właśnie nie wiem jak zapisać równianie z którego da się wyliczyć to \(\displaystyle{ d}\), próbowałam wziąć \(\displaystyle{ P(Irok) \cdot P(c)=p(Irok \cap c)}\) ale wychodzą z tego ujemne liczby więc z równań tego typu raczej nic nie wyjdzie

[spellshaper]

Wszędzie gdzie liczysz prawdopodobieństwo części wspólnej w mianowniku powinnaś mieć również
\(\displaystyle{ 16+d}\)
Wtedy jak podstawisz wyniki do równania
\(\displaystyle{ P(Irok) \cdot P(c)=p(Irok \cap c)}\)
to wszystko się zgadza. Tak jak ty zrobiłaś byłoby ok gdybyś liczyła prawdopodobieństwo warunkowe.

[beataa06]

Ale dalej się coś nie zgadza, bo jak podstawie:
\(\displaystyle{ P(c) \adot P(Irok) = P(c \cap Irok)}\) to mam \(\displaystyle{ 100 = 4}\), czyli już nawet bez wyliczenia \(\displaystyle{ d}\) jest sprzeczność, a przy \(\displaystyle{ P(d) \adot P(IIrok) = P(d \cap IIrok)}\)wychodzi delta ujemna

[spellshaper]

\(\displaystyle{ P(Irok)= \frac{10}{16+d} P(ch)= \frac{10}{16+d} ,P(c \cap Irok)= \frac{4}{16+d} P(d \cap Irok)=\frac{6}{16+d}, P(c \cap IIrok)=\frac{6}{16+d}, P(d \cap IIrok)=\frac{d}{16+d}\\
P(Irok) \cdot P(c)=p(Irok \cap c) \\
\frac{10}{16+d} \cdot \frac{10}{16+d}= \frac{4}{16+d} / \cdot (16+d)^2 \\
100=4 \cdot (16+d) \\
100=64+4d \\
4d=36 \\
d=9\\}\)
Sprawdźmy czy dla \(\displaystyle{ d=9}\)
\(\displaystyle{ P(d \cap Irok)=P(d) \cdot P(Irok), P(c \cap IIrok)=P(c) \cdot P(IIrok), P(d \cap IIrok)=P(d) \cdot P(IIrok) \\
P(d) \cdot P(Irok)= \frac{15}{25} \cdot \frac{10}{25}= \frac{6 \cdot 25}{25 \cdot 25}= \frac{6}{25}=P(d \cap IIrok) \\
P(c) \cdot P(IIrok)= \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{25}= \frac{6}{25}= P(c \cap IIrok) \\
P(d) \cdot P(IIrok)= \frac{15}{25} \cdot \frac{15}{25}= \frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 25}= \frac{9}{25}=P(d \cap IIrok)}\)
Wszystko się zgadza a więc dla \(\displaystyle{ d=9}\) zmienne losowe oznaczające płeć i rok są niezależne a więc do grupy musi dołączyć \(\displaystyle{ 9}\) studentek drugiego roku

[beataa06]

Dzięki, znowu sobie źle popatrzyłam :/ i stąd błędy rachunkowe a wszystko jest ok