Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ X, Y}\) zmienne losowe niezależne a \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są funcjami borelowsko mierzalnymi to\(\displaystyle{ f(X)}\) i \(\displaystyle{ g(Y)}\) są niezależne.
Ktoś ma jakieś pomysły?
niezależność zmiennych
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 gru 2016, o 21:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: niezależność zmiennych
Kilka wskazówek:
1. \(\displaystyle{ \sigma(\xi)=\{\xi^{-1}(B):B\in\mathcal{B}(\RR)\}}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi:\Omega\rightarrow\RR}\).
2. Przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B\in\mathcal{B}(\RR)}\) dla funkcji borelowskiej \(\displaystyle{ f:\RR\rightarrow\RR}\) jest borelowski.
3. Mamy następującą własność przeciwobrazu \(\displaystyle{ (f\circ X)^{-1}(B)=X^{-1}(f^{-1}(B))}\).
1. \(\displaystyle{ \sigma(\xi)=\{\xi^{-1}(B):B\in\mathcal{B}(\RR)\}}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi:\Omega\rightarrow\RR}\).
2. Przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B\in\mathcal{B}(\RR)}\) dla funkcji borelowskiej \(\displaystyle{ f:\RR\rightarrow\RR}\) jest borelowski.
3. Mamy następującą własność przeciwobrazu \(\displaystyle{ (f\circ X)^{-1}(B)=X^{-1}(f^{-1}(B))}\).