Oblicz wartość oczekiwaną

[spellshaper]

Witam
Mógłby ktoś pomóc z takim zadaniem?
"Zmienna losowa\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\). Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Y=\sin X}\)
"

[Premislav]

Jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ciągły z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest mierzalna, a wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=h(X)}\) istnieje, to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[h(X)]= \int_{\RR}^{} h(x)f(x)\,\dd x}\).

Funkcja sinus jest ciągła, a więc mierzalna, wystarczy więc policzyć
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \sin x e^{-x}\,\dd x}\)
a to można zrobić na wiele sposobów. Całkę nieoznaczoną można wyliczyć, korzystając sprytnie(dwa razy) z całkowania przez części:
niech \(\displaystyle{ I= \int_{}^{} \sin x e^{-x}\,\dd x}\), wówczas
\(\displaystyle{ I= \int_{}^{} \left( -e^{-x}\right)' \sin x\,\dd x=\\=-e^{-x}\sin x+ \int_{}^{} e^{-x}\cos x\,\dd x=\\= -e^{-x}\sin x+ \int_{}^{} (-e^{-x})'\cos x\,\dd x=\\=-e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-I}\)
z dokładnością do stałej, więc
\(\displaystyle{ I=-\frac 1 2e^{-x}\sin x-\frac 1 2e^{-x}\cos x+C}\)

Można też np. skorzystać z tego, że transformata Laplace'a funkcji \(\displaystyle{ h(x)=\sin x}\) wynosi
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+s^2}}\) i podstawić \(\displaystyle{ s=1}\).