Prawdopodobieństwo wyboru 2 punktów z odcinka

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mat1911
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 maja 2017, o 14:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mińsk Mazowiecki
Podziękował: 2 razy

Prawdopodobieństwo wyboru 2 punktów z odcinka

Post autor: mat1911 »

Na odcinku (0;2) losowo wybrano dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich odległość jest większa od 1?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Prawdopodobieństwo wyboru 2 punktów z odcinka

Post autor: kerajs »

Niech odległość pierwszego punktu od wybranego końca odcinka wynosi x, a odległość drugiego punktu od tego końca odcinka wynosi y.
\(\displaystyle{ \left| x-y\right|>1\\
\begin{cases} x-y \ge 0 \\ x-y>1 \end{cases} \vee \begin{cases} x-y < 0 \\ -(x-y)>1 \end{cases}}\)

Wystarczy teraz narysować te obszary w XOY dla \(\displaystyle{ x,y \in \left\langle 0,2\right\rangle}\)
i wyznaczyć stosunek pól otrzymanych trójkątnych fragmentów kwadratu do pola całego kwadratu.
\(\displaystyle{ P= \frac{2 \cdot \frac{1}{2}1 \cdot 1 }{2^2} = \frac{1}{4}}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Prawdopodobieństwo wyboru 2 punktów z odcinka

Post autor: janusz47 »

1.
W układzie współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ \RR^2}\) narysuj trójkąt:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (x,y): 0 < x < 2, 0< y < 2 , 0 < x+y <2\} .}\)

2.
Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ |\Omega|.}\)

3.
Zaznacz wewnątrz trójkąta zbiór:

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<1,0<x<2, 0<y<2, 0<x+y<2\}.}\)

4.
Oblicz pole \(\displaystyle{ |A|.}\)

5.
Oblicz wartość prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Prawdopodobieństwo wyboru 2 punktów z odcinka

Post autor: kerajs »

Z Twoich poleceń wynika \(\displaystyle{ P(A)= \frac{3}{4}}\), jednak z mojego rozwiązania wychodzi \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{4}}\) .
Warto by napisać czym są użyte wartości x, i y.
janusz47 pisze:3.
Zaznacz wewnątrz trójkąta zbiór:

\(\displaystyle{ A=\{(x,y):y<1,0<x<2, 0<y<2, 0<x+y<2\}.}\)
i, o ile prawidłowo domyślam się czym są x i y, to także poprawić błędny warunek: \(\displaystyle{ y <1}\)
ODPOWIEDZ