Dystrybuanta zm. los. mieszanej

[M Tylda]

Proszę o nakierowanie, czy idę w dobrą stronę

\(\displaystyle{ F _{x} (X)=\begin{cases} 0 & x \le 0\\A+Be ^{-x ^{2} } & x \in (0, \infty ) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A+Be ^{-x ^{2} }=1.}\)

Pochodna z dystrybuanty jest funkcją gęstości, która to musi być dodatnia, zatem:

\(\displaystyle{ -2xBe ^{-x ^{2} } \in (0, \infty ).}\)

Zatem odpowiedź: \(\displaystyle{ B \in (0, \infty ) \cap A \in (0, \infty )}\).

[squared]

Jaka jest treść zadania?

[M Tylda]

Należy wyznaczyć parametry tak, by była to dystrybuanta zmiennej losowej typu mieszanego

[squared]

Funkcja jest dystrybuantą, jeśli
- jest prawostronnie ciągła
- granica w plus nieskończoności to 1
- granica w minus nieskończoności to 0
- funkcja jest niemalejąca

Oblicz granicę w plus nieskończoności

[M Tylda]

\(\displaystyle{ A+Be ^{-x ^{2} }=1}\)

To właśnie jest ta granica w plus nieskończoności

[squared]

Nie.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \left( A+Be ^{-x ^{2} }\right) = A = 1}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ F _{x} (X)=\begin{cases} 0 & x \le 0\\1+Be ^{-x ^{2} } & x \in (0, \infty ) \end{cases}}\).

Dalej \(\displaystyle{ F(x)}\) musi być niemalejaca. Zatem pochodna dla \(\displaystyle{ x>0}\) musi być nieujemna, czyli

\(\displaystyle{ -xBe^{-x^2}\geq 0, \ \ \text{dla } x>0}\). A to zachodzi dla \(\displaystyle{ B\leq 0}\)