zmienne losowe niezależne, rozkład wykładniczy

[beataa06]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) są niezależne i mają rozkłady wykładnicze o gęstości \(\displaystyle{ \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \cdot In (x>0)}\). Wyznaczyć i naszkicować gęstość rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y=X_1-X_2}\).

In - indykator

Nie jestem pewna czy to będzie \(\displaystyle{ \lambda^{2}e^{\lambda^{2}x_1x_2} \cdot In(x_1>0)In(x_2>0)}\) a jeśli tak to jak to naszkicować?

[NogaWeza]

Polecam instrukcję do latexa, wystarczy napisać cdot zamiast * i od razu jest bardziej czytelnie.

Dlaczego taki wynik? O wiele bardziej istotne jest rozumowanie, które Cię do niego doprowadziło, a nie sama odpowiedź. Jeśli szukasz tylko potwierdzenia wyniku, to całkę splotową policzy za Ciebie wolfram. Swoją drogą Twój wynik jest totalnie źle, nie wiem skąd się tam biorą jakieś \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), Twoja nowa "gęstość" nie zależy w ogóle od \(\displaystyle{ x}\) i nie całkuje się do jedności. Wygląda to trochę tak jakbyś na siłę chciała pomnożyć przez siebie jakieś dwie gęstości i to jeszcze nie do końca poprawnie, bo przy mnożeniu eksponent wykładniki się dodaje, ale mniejsza z tym.

[beataa06]

Skoro twierdzisz, że źle to jak należy to rozwiązać? Bo myślałam, ze z niezależności będzie \(\displaystyle{ f(x_1)\cdot f(x_2)}\) i fakt źle pomnożyłam

Jako \(\displaystyle{ f*g(x)}\) jako splot? Gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością dla \(\displaystyle{ X_1}\), a \(\displaystyle{ g}\) dla \(\displaystyle{ X_2}\).

[Premislav]

Można zbadać przebieg zmienności tej funkcji (asymptoty, monotoniczność i inne bajery, jak nie pamiętasz jak to się robiło, to jest na forum wątek temu poświęcony: 281113.htm) i to umożliwi wykonanie dość uproszczonego rysunku.

Natomiast zmienna losowa \(\displaystyle{ Y=X_1-X_2}\) jest jednowymiarowa (tj. jej wartości są w \(\displaystyle{ RR}\), a nie w \(\displaystyle{ RR^d}\) dla \(\displaystyle{ d>1}\)), więc nie będzie miała takiej gęstości, jak napisałaś. Przedstawię rozwiązanie tej części zadania, wykres gęstości sobie naszkicujesz np. dzięki przeprowadzeniu operacji wspomnianych w podanym przeze mnie wątku.

Skoro zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ lambda}\), to wektor losowy
\(\displaystyle{ (X_1, X_2)}\) ma gęstość będącą iloczynem gęstości brzegowych, czyli:
\(\displaystyle{ f(x_1, x_2)=lambda^2e^{-lambda(x_1+x_2)}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(x_1)1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(x_2)}\)
Teraz przypomnijmy taki fakt:
jeśli wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład ciągły z gęstością \(\displaystyle{ g(x,y)}\), funkcja \(\displaystyle{ varphi}\) jest mierzalna i istnieje następująca wartość oczekiwana \(\displaystyle{ mathbf{E}left( varphi(X,Y)
ight)}\), to
\(\displaystyle{ mathbf{E}left( varphi(X,Y)
ight)= iint_{RR^2}^{}varphi(x,y)g(x,y) d(x,y)}\)
Dalej właśnie wykorzystam ten fakt: dla ustalonego \(\displaystyle{ yin RR}\) mamy
\(\displaystyle{ mathbf{P}(Yle y)=mathbf{P}(X_1-X_2le y)=\=mathbf{E}left(1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, y]}(X_1-X_2)
ight)=\= int_{-infty}^{+infty} int_{-infty}^{+infty}lambda^2e^{-lambda(x_1+x_2)}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, y]}(x_1-x_2)1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(x_1)1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(x_2)
,dd x_1 ,dd x_2=\= int_{0}^{+infty} int_{0}^{+infty}lambda^2 e^{-lambda(x_1+x_2)}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, y]}(x_1-x_2),dd x_1 ,dd x_2=\= int_{0}^{+infty}lambda^2e^{-lambda x_2} int_{0}^{+infty}e^{-lambda x_1}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, y]}(x_1-x_2),dd x_1 ,dd x_2}\)
Teraz należy zmodyfikować granice całkowania, patrząc na ten indykator.
Przyjmuje on wartość \(\displaystyle{ 1}\) dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ x_1le x_2+y}\), ponieważ jednak równocześnie \(\displaystyle{ x_1>0}\), więc jeśli \(\displaystyle{ x_2le -y}\), to rozważana całka (czyli dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X_1-X_2}\)) wynosi zero, bo funkcja podcałkowa się zeruje. Wracając do tych rachunków, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ int_{0}^{+infty}lambda^2e^{-lambda x_2} int_{0}^{+infty}e^{-lambda x_1}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, y]}(x_1-x_2),dd x_1 ,dd x_2=\= int_{maxleft{ 0, -y
ight} }^{+infty}lambda^2e^{-lambda x_2} int_{0}^{x_2+y} e^{-lambda x_1},dd x_1,dd x_2=\= int_{maxleft{ 0, -y
ight} }^{+infty}lambda e^{-lambda x_2}left( 1-e^{-lambda(x_2+y)}
ight),dd x_2=\=1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, 0]}(y) int_{-y}^{+infty}lambda e^{-lambda x_2}left( 1-e^{-lambda(x_2+y)}
ight),dd x_2 +1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(y) int_{0}^{+infty} lambda e^{-lambda x_2}left( 1-e^{-lambda(x_2+y)}
ight),dd x_2=\=1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, 0]}(y)left( e^{lambda y}-frac 1 2e^{lambda y}
ight) +1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(y) left(1-frac 1 2 e^{-lambda y}
ight) =\= egin{cases} frac 1 2 e^{lambda y} ext{ gdy }yle 0 \ 1-frac 1 2e^{-lambda y} ext{ gdy }y>0end{cases}}\)
Mamy więc w ręku dystrybuantę, gęstość zaś dostajemy oczywiście, po prostu różniczkując dystrybuantę. Ostatecznie gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Y=X_1-X_2}\) jest równa
\(\displaystyle{ frac 1 2lambda e^{lambda y}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-infty, 0]}(y) +frac 1 2lambda e^{-lambda y}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(0,+infty)}(y)}\).