Rozkład jednopunktowy i dwupunktowy

[Euler41]

Witajcie!
Mam pytanko odnośnie rozkładu jednopunktowego. U mnie w skrypcie jest on przedstawiony w ten sposób, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednopunktowy, jeżeli dla pewnego \(\displaystyle{ a \in \RR}\)

\(\displaystyle{ P\left\{ X = a\right\} = 1}\)

Czyli rozumiem, że rozkład jednopunktowy jest na przykład w momencie, gdy rzucamy sześcienną kostką do gry i przypisujemy liczbę 5 zdarzeniu, gdy wypadło mniej niż 7 oczek, to wtedy faktycznie, to zdarzenie ma rozkład jednopunktowy?

Natomiast już nie bardzo rozumiem rozkład dwupunktowy, domyślam się, że przykładem zmiennej losowej posiadającej ten rozkład może być na przykład rzut monetą w którym przypisujemy jakąś liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a}\) wypadnięciu orła. W takim razie przypisujemy \(\displaystyle{ b}\) zdarzeniu, że wypadnie reszka.

Jednak jest też napisane, że możemy to zapisać tak:
\(\displaystyle{ P_X = p \delta_a + (1-p)\delta_b}\)
Gdzie \(\displaystyle{ \delta_a}\) jest rozkładem jednopunktowym.

Czy to nie jest mnożenie przez jeden? Jaką to pełni tutaj funkcję?

[Igor V]

Czyli rozumiem, że rozkład jednopunktowy jest na przykład w momencie, gdy rzucamy sześcienną kostką do gry i przypisujemy liczbę 5 zdarzeniu, gdy wypadło mniej niż 7 oczek, to wtedy faktycznie, to zdarzenie ma rozkład jednopunktowy?

Tak

Czy to nie jest mnożenie przez jeden?

Przez jeden lub zero.

Jaką to pełni tutaj funkcję?

W zasadzie to tylko taką że informuje Cię o tym że \(\displaystyle{ X = a}\) lub \(\displaystyle{ X = b}\) lub nie jest równe żadnemu z nich. Równie dobrze mógłbyś to zapisać w takiej postaci :
\(\displaystyle{ P_X = \begin{cases} p &\text{dla } x = a \\1 - p &\text{dla } x = b \\ 0 &\text{wpp.} \end{cases}}\)

[Euler41]

Czy to nie jest mnożenie przez jeden?

Przez jeden lub zero.

Mogę poprosić jakiś przykład? Bo nie mogę sb tego wyobrazić.

[Igor V]

Tutaj nie ma za bardzo sobie czego wyobrażać. Jeśli masz \(\displaystyle{ \delta_{a}}\) to znaczy że
\(\displaystyle{ \delta_{a}
= \begin{cases} 1 &\text{dla } x = a \\ 0 &\text{wpp.} \end{cases}}\)
bo suma prawdopodobieństw po całym \(\displaystyle{ \RR}\) (zbiorze wartości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)) musi być równa \(\displaystyle{ 1}\). A rozkład dwupunktowy to złożenie dwóch takich rozkładów tyle że trzeba wysumować odpowiednio prawdopodobieństwa : \(\displaystyle{ p + (1 - p) = 1}\). Np: jak masz \(\displaystyle{ X = a}\) to \(\displaystyle{ P_X = p\cdot 1 + (1-p)\cdot 0 = p}\), analogicznie z \(\displaystyle{ X = b}\). Jak \(\displaystyle{ X \neq a}\) oraz \(\displaystyle{ X \neq b}\) to \(\displaystyle{ P_X = p\cdot 0 + (1-p)\cdot 0 = 0}\)