Kule białe i czarne

[matematykipatyk]

W urnie są dwie kule białe i sześć czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. które ze zdarzeń jest bardziej prawdopodobne: wyciągnięcie kul o różnych kolorach czy wyciągnięcie kul tego samego koloru? ile należy dołożyć kul białych, aby zdarzenia te były jednakowo prawdopodobne?

Chcę się zapytać o drugą część tego zadania tzn. w odpowiedziach jest napisane, że
należy ułożyć takie równanie
\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1} = \frac{1}{2} {8+n \choose 2}}\)
Czy na pewno ta druga część równania jest poprawnie sformułowana? Ze wszystkich kul wybieramy dwie i dzielimy ich ilość na dwa. To jest jednoznaczne z wyciągnięciem kul tego samego koloru?

[Euler41]

Pierwsza część mówi nam ile jest sytuacji, gdy wyciągamy dwie różne kule.
Wszystkich sytuacji jest \(\displaystyle{ {8+n \choose 2}}\). Chcemy, żeby było tyle samo zdarzeń takich, że wyciągamy dwie różne i dwie takie same. Potrzeba nam więc znać ilość sytuacji, gdy wyciągamy dwie takie same.

Najprościej możemy to policzyć tak: Wszystkich jest \(\displaystyle{ {8+n \choose 2}}\), takich, że wyciągamy dwie różne:
\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1}}\).

Teraz wystarczy zauważyć, że pozostałe sytuacje, to właśnie te, których szukamy, więc zapiszmy to tak: \(\displaystyle{ {8+n \choose 2} - {6 \choose 1} {2+n \choose 1}}\).


Teraz przyrównujemy:
\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1} = {8+n \choose 2} - {6 \choose 1} {2+n \choose 1}}\)
Teraz dodajmy stronami \(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1}}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1}+ {6 \choose 1} {2+n \choose 1} = {8+n \choose 2}}\)

\(\displaystyle{ 2{6 \choose 1} {2+n \choose 1} = {8+n \choose 2}}\)

Podzielmy stronami przez dwa.

\(\displaystyle{ {6 \choose 1} {2+n \choose 1} = \frac{1}{2} {8+n \choose 2}}\)

Wygląda spoko.