Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej

[Euler41]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X^2 + 2X}\).

Mam rozwiązanie, ale chciałbym do niego dojść sam, a niestety z zajęć tego typu zadań sobie nie przypominam i nawet nie wiem od której strony tego jeża mam podejść...

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X^2+2X\le t)=\mathbf{P}(X^2+2X+1\le t+1)=\\=\mathbf{P}\left( (X+1)^2\le t+1\right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t<-1 \\ \mathbf{P}(-\sqrt{t+1}\le X\le \sqrt{t+1}) \text{ gdy } t\ge -1\end{cases}}\)
i jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ciągły, to to jest równe
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \text{ gdy } t<-1 \\ F(\sqrt{t+1})-F(-\sqrt{t+1}) \text{ gdy } t\ge -1\end{cases}}\),
ale już np. dla rozkładu dwupunktowego tak nie zadziała…

Ogólnie dobrze mieć pewną sprawność algebraiczną (wzory skróconego mnożenia, jakieś dzielenie, mnożenie, odwracanie z ew. zmianą znaków) i podstawową wiedzę o funkcjach odwrotnych (np. do wykładniczej, do trygonometrycznych, do potęgowych – wraz ze znajomością dziedziny etc.).
Jeśli chodzi o wiedzę z prawdopodobieństwa, to wystarcza definicja i podstawowe własności dystrybuanty i spostrzeżenia typu
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)}\).

[Euler41]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X^2+2X\le t)=\mathbf{P}(X^2+2X+1\le t+1)=\\=\mathbf{P}\left( (X+1)^2\le t+1\right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t<-1 \\ \mathbf{P}(-\sqrt{t+1}\le X\le \sqrt{t+1}) \text{ gdy } t\ge -1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-\sqrt{t+1}\le X\le \sqrt{t+1}) \text{ gdy } t\ge -1\end}\)

Nie bardzo rozumiem, dlaczego akurat takie wartości?

[Premislav]

Po prostu jeśli \(\displaystyle{ y<0}\), to nierówność \(\displaystyle{ x^2\le y}\) nie może być spełniona dla żadnego \(\displaystyle{ x}\) rzeczywistego, a dla \(\displaystyle{ y\ge 0}\) nierówność ta jest równoważna temu:
\(\displaystyle{ -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}}\)

[Euler41]

To nie powinno być:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-\sqrt{t+1}\le X+1 \le \sqrt{t+1}) \text{ gdy } t\ge -1\end}\) ?

[Premislav]

A tak, powinno być, jasne. Przepraszam za nieuwagę.

[Euler41]

W takim razie (chyba) rozumiem, dziękuję.