wartość oczekiwana

[robin5hood]

Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1..n\} \{1..n\} R^2}\) losujemy ze zwracaniem dwa punkty, z których jeden jest środkiem koła, a drugi leży na jego okręgu. Obliczyć wartość oczekiwaną pola takiego koła.

[jovante]

Niech \(\displaystyle{ (x_1,y_1)}\) i \(\displaystyle{ (x_2,y_2)}\) oznaczają współrzędne środka okręgu i punktu na okręgu odpowiednio. Wówczas, przy założeniu, że losowanie punktów odbywa się niezależnie mamy:

\(\displaystyle{ EX=\pi\frac{\sum_{x_1=1}^{n}\sum_{y_1=1}^{n}\sum_{x_2=1}^{n}\sum_{y_2=1}^{n}\left[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\right]}{n^4}=2\pi\frac{\sum_{x_1=1}^{n}\sum_{x_2=1}^{n}(x_2-x_1)^2}{n^2}=\\=\frac{\pi(n^2-1)}{3}}\)

, przy czym po drodze skorzystałem z paru prostych tożsamości