Tarcza strzelecka

[cwaniaczek5]

Tarcza strzelecka składa się z trzech koncentrycznych kół o promieniach odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{2} , 2, 3}\) . Szansa trafienia przez strzelca w koło o promieniu \(\displaystyle{ r}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{ r^{2}}{9}}\) dla \(\displaystyle{ r \in (0,9)}\). Każdego dnia strzelec strzela do tarczy do momentu trzykrotnego trafienia w drugi pierścień (licząc kolejno od środka koła). Oszacować prawdopodobieństwo, że sumaryczna liczba strzałów wykonanych przez 300 dni nie przekroczy 1576. Proszę o pomoc w rozwiązaniu całego zadania.

[janusz47]

Proszę poprawić treść zadania, bo szansa trafienia dla \(\displaystyle{ r\in (0, 9)}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 9.}\)

[cwaniaczek5]

Czy tak będzie wyglądało rozwiązanie? \(\displaystyle{ P(X \le 1576)= {3+k-1 \choose k} \left(\frac{4}{9} \right) ^{3} \left( \frac{5}{9} \right) ^{k}}\)

[janusz47]

Zwróć uwagę, że jeśli \(\displaystyle{ r\in (0, 9)}\) to prawdopodobieństwo zawiera się od \(\displaystyle{ 0 do 81}\) co jest niemożliwe!

[cwaniaczek5]

Ja rozumiem, że jest błąd, ale nie jestem w stanie poprawić bo mam słabo widoczne dane. Najbardziej mi zależy, żeby wiedzieć jaki jest sposób wykonania tego zadania.

[janusz47]

Skąd masz to zadanie?

[cwaniaczek5]

z egzaminu z poprzednich lat

[janusz47]

Twoje rozwiązanie jest niepoprawne.

Przyjmij w takim razie \(\displaystyle{ p(r) = \frac{r}{9}, r\in (0, 9)}\)

Określ prawdopodobieństwo pojedyńczego trafienia w środek drugiego pierścienia \(\displaystyle{ p.}\)

Określ prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na trzykrotnym trafieniu w drugi pierścień,
licząc kolejno od środka koła.

Przyjmij \(\displaystyle{ n = 300}\) i zastosuj Integralne Twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a do obliczenia prawdopodobieństwa

\(\displaystyle{ Pr(\{S_{300}\leq 1576\}).}\)

[cwaniaczek5]

Prawdopodobieństwo trafienia w drugi pierścień nie będzie wtedy równe: \(\displaystyle{ \frac{4 \pi - \frac{1}{4} \pi}{9 \pi }= \frac{15}{36}}\) ?
\(\displaystyle{ B(300, \frac{15}{36})}\)
\(\displaystyle{ P(S=3)= {300 \choose 3} \left( \frac{15}{36} \right) ^{3} \left( \frac{21}{36} \right) ^{300-3}}\) a więc
\(\displaystyle{ P(S _{300} \le 1576) = P\left( S _{300} \le \frac{1576-300 \cdot \frac{15}{36} }{ \sqrt{300* \frac{15}{36} \cdot \frac{21}{36} } } \right)}\) Ja tak to rozumiem

[janusz47]

Brakuje obliczenia prawdopodobieństwa do momentu trzykrotnego trafienia \(\displaystyle{ p(3)}\) w ciągu dnia - z rozkładu geometrycznego.

Obliczyłeś poprawnie prawdopodobieństwo jednokrotnego\(\displaystyle{ p(1)}\) trafienia w drugi pierścień kołowy.

Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p(3)}\) uwzględnij we wzorze de Moivre'a-Laplace'a.

[cwaniaczek5]

Czyli prawdopodobieństwo do momentu trzykrotnego trafienia to \(\displaystyle{ p = \frac{15}{36} (1- \frac{15}{36}) ^{3}}\) ? Jak tak to nie rozumiem za bardzo czemu, bo k czyli 3 powinno być liczbą porażek z definicji rozkladu, a mamy trzy razy sukces.

[janusz47]

Masz trzykrotnie trafić w drugi pierścień, a nie trafić w trzecim strzale.