Wielowymiarowy rozkład normalny
-
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 22 mar 2018, o 19:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 36 razy
Wielowymiarowy rozkład normalny
Załóżmy, że \(\displaystyle{ X _{0}}\) oraz \(\displaystyle{ W _{1} , . . . , W _{10}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy tym każda ze zmiennych \(\displaystyle{ W _{1} , . . . , W _{10}}\) ma jednakowy rozkład normalny\(\displaystyle{ N(5, 1)}\). Niech \(\displaystyle{ X _{n+1}= \frac{1}{2}X _{n}+W _{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n = 0, 1, . . . , 9}\). Wiadomo, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X _{0}}\) i \(\displaystyle{ X _{10}}\) mają rozkład normalny o jednakowych parametrach. Wyznaczyć parametry tego rozkładu. Wiem, że to wielowymiarowy rozkład normalny, ale nie wiem jak obliczyć, powinno wyjść wartość oczekiwana: \(\displaystyle{ 10,4}\) , a wariancja: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\). Proszę o pomoc
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wielowymiarowy rozkład normalny
Przecież na palcach można nawet policzyć, nie wiem, po co tutaj wielowymiarowy rozkład normalny.
\(\displaystyle{ X_{10}=\frac 1 2 X_9+W_{10}=\frac 1 2\left( \frac 1 2X_{8}+W_9\right)+ W_{10}=\\=\ldots \frac{1}{2^{10}}X_0+ \sum_{k=1}^{10}2^{k-10}W_k}\)
i niech teraz \(\displaystyle{ X_0\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{10}}X_0\sim \mathcal{N}\left( 2^{-10}\mu, 2^{-20}\sigma^2\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2^{k-10}W_k\sim \mathcal{N}\left( 2^{k-10}\cdot 5, \ 2^{2k-20}\right)}\),
suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych też ma rozkład normalny i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \mu =2^{-10}\mu+5 \sum_{k=1}^{10}2^{k-10} \\ \sigma^2=2^{-20}\sigma^2+ \sum_{k=1}^{10}2^{2k-20} \end{cases}}\),
stosujesz wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i dalej samo wychodzi.
Ogólnie jeśli mamy niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ Z_1, \ldots Z_n}\), gdzie
\(\displaystyle{ Z_i\sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}Z_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( \sum_{i=1}^{n} \mu_i, \sum_{i=1}^{n} \sigma^2_i\right)}\)
\(\displaystyle{ X_{10}=\frac 1 2 X_9+W_{10}=\frac 1 2\left( \frac 1 2X_{8}+W_9\right)+ W_{10}=\\=\ldots \frac{1}{2^{10}}X_0+ \sum_{k=1}^{10}2^{k-10}W_k}\)
i niech teraz \(\displaystyle{ X_0\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{10}}X_0\sim \mathcal{N}\left( 2^{-10}\mu, 2^{-20}\sigma^2\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ 2^{k-10}W_k\sim \mathcal{N}\left( 2^{k-10}\cdot 5, \ 2^{2k-20}\right)}\),
suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładach normalnych też ma rozkład normalny i otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \mu =2^{-10}\mu+5 \sum_{k=1}^{10}2^{k-10} \\ \sigma^2=2^{-20}\sigma^2+ \sum_{k=1}^{10}2^{2k-20} \end{cases}}\),
stosujesz wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i dalej samo wychodzi.
Ogólnie jeśli mamy niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ Z_1, \ldots Z_n}\), gdzie
\(\displaystyle{ Z_i\sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}Z_i}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( \sum_{i=1}^{n} \mu_i, \sum_{i=1}^{n} \sigma^2_i\right)}\)