Sprawdź czy zmienne losowe są niezależne

[spellshaper]

Witam, prosiłbym o pomoc w zadaniu:
Zmienna losowa X jest zadana przez rozkład jednostajny na odcinku [0,1], zmienna losowa Y jest zadana przez gęstość:
\(\displaystyle{ f:[0,1]\to[0,2]\\
f(x)= 2*x}\)
Sprawdź czy zmienne losowe X i Y są niezależne.
Pytam dlatego bo na wykładzie mieliśmy podany przykład na obliczanie splotu gęstości i właśnie dwie takie zmienne były podane i później liczyliśmy gęstość Z=X+Y z definicji splotu ale nie argumentowaliśmy dlaczego te dwie zmienne losowe są niezależne i właśnie nie wiem czy ich niezależność założyliśmy w domyśle na potrzebę przykładu czy ona jednak z czegoś wynika ?

[janusz47]

Kiedy dwie zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) odpowiednio o funkcjach gęstości \(\displaystyle{ f_{X}, f_{Y}}\) są zmiennymi niezależnymi?

[spellshaper]

Kiedy dwie zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) odpowiednio o funkcjach gęstości \(\displaystyle{ f_{X}, f_{Y}}\) są zmiennymi niezależnymi?

Właśnie nie wiem czy można to w ogóle stwierdzić czy jest to wyłącznie zależne od rozkładu łącznego który musi być dany.

[janusz47]

Należy znaleźć gęstość łączną \(\displaystyle{ f_{X,Y)}\)i sprawdzić czy spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} = f_{X}\cdot f_{Y}.}\)