Rozkład zmiennej losowej Y=3-2X

[Mr Marcin]

Bardzo proszę o pomoc
Zmienna losowa ma rozkład o gęstości f: \(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{1}{2} , x\in(-1,0) \cup \left\{ 0\right\} \\ \frac{x}{4}, x\in(0,2) \end{cases}}\)

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=3-2X}\)

1. Wyznaczyłem dystrybuantę \(\displaystyle{ F _{x} (x)}\)
2. Wyznaczyłem dystrybuantę \(\displaystyle{ F _{x} ( \frac{-y+3}{2} )}\)

Wiem, że teraz należy zróżniczkować dystrybuantę, aby otrzymać funkcję gęstości y, ale za nic w świecie nie potrafię ustalić przedziałów dla tej funkcji gęstości

[janusz47]

Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = aX +b,}\)

to gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jest równa:

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \frac{1}{|a|} f_{X}\left( \frac{y-b}{a}\right).}\)

Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmowała wartość z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 0\rangle \cup (0, 2),}\) to zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (-1, 3) \cup \langle 3, 5).}\)

[Mr Marcin]

Otrzymałem gęstość \(\displaystyle{ f _{y}(y)}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} \cdot f _{x}( \frac{-y+3}{2})= \frac{1}{4}, y \in \left\{ 3\right\} \cup (3,5)\\ \frac{1}{2} \cdot f _{x}( \frac{-y+3}{2})= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot ( \frac{-y+3}{2})= \frac{-y+3}{16}, y \in (-1,3)\end{array}}\)

Zatem dystrybuanta \(\displaystyle{ F _{Y}(y)}\) jest następująca:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0, y \le -1 \\ \int_{-1}^{y}\frac{3-y}{16}dy= \frac{-y ^{2} +6y-5}{32}, y \in (-1,3) \\ \int_{-1}^{3} \frac{3-y}{16}dy + \int_{3}^{y} \frac{1}{4}dy= \frac{1}{4}(y-3)+ \frac{1}{2}, y \in \left\{ 3\right\} \cup (3,5)\\ \int_{-1}^{3} \frac{3-y}{16} dy+ \int_{3}^{5 } \frac{1}{4}dy+ \int_{5}^{ \infty } \frac{1}{4}dy=1 , y \in \left\{ 5\right\} \cup (5, \infty)\end{array}}\)

I na tym kończymy poszukiwanie rozkładu zmiennej Y? Koniec zadania?

[janusz47]

Zapisujemy gęstość czy dystrybuantę w postaci klamerkowej.

[Mr Marcin]

Poprawiłem

[janusz47]

Nie podobają mi się te wzory.

Jeszcze raz proszę określić wzory na funkcję gęstości bez symboli \(\displaystyle{ f_{x}}\) i symboli całek
na

\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = \left\{ ...}\)

\(\displaystyle{ F_{Y}(y} = \left\{....}\)

[Mr Marcin]

Poprawiłem i dla jasności zapisu ostatecznie:

gęstość \(\displaystyle{ f _{y}(y)}\)=\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}, y \in \left\{ 3\right\} \cup (3,5)\\ \frac{-y+3}{16}, y \in (-1,3)\end{array}}\)

dystrybuanta \(\displaystyle{ F _{Y}(y)}\)=\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0, y \le -1 \\ \frac{-y ^{2} +6y-5}{32}, y \in (-1,3) \\ \frac{1}{4}(y-1), y \in \left\{ 3\right\} \cup (3,5)\\ 1 , y \in \left\{ 5\right\} \cup (5, \infty)\end{array}}\)-- 18 sie 2018, o 10:57 --

Nie podobają mi się te wzory.

Już poprawiłem. Czy w tych wzorach znajduje się jakiś błąd rzeczowy?

[janusz47]

Popraw dystrybuantę, w której wzory (2) i (3) się muszą sumować.

Wzór ostatni jest nieprawdziwy bo \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4}dy = \infty.}\)

[Mr Marcin]

Czyli, jak rozumiem dystrybuanta nie zawiera po prostu tej ostatniej całki, czyli jest następuąca: \(\displaystyle{ F _{Y}(y)}\)=\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0, y \le -1 \\ \int_{-1}^{y}\frac{3-y}{16}dy= \frac{-y ^{2} +6y-5}{32}, y \in (-1,3) \\ \int_{-1}^{3} \frac{3-y}{16}dy + \int_{3}^{y} \frac{1}{4}dy= \frac{1}{4}(y-3)+ \frac{1}{2}, y \in \left\{ 3\right\} \cup (3,5)\\ \int_{-1}^{3} \frac{3-y}{16} dy+ \int_{3}^{5 } \frac{1}{4}dy=1 , y \in \left\{ 5\right\} \cup (5, \infty)\end{array}}\)

Tylko nie rozumiem, w jaki sposób poprawić te wzory (2) i (3). Nie wiem, czy gdzieś po drodze nie zrobiłem błędu, który zaciemnia mi sytuację.

[janusz47]

W trzeciej linijce dystrybuanty musi być suma wzoru drugiej i trzeciej linijki.