Liczba pracowników - centralne twierdzenie graniczne

[Mr Marcin]

Cześć Mam problem z zadaniem i prosiłbym o sprawdzenie i podpowiedzi

\(\displaystyle{ 30 \%}\) pracowników pewnej firmy to osoby leworęczne. Ile co najmniej osób pracuje w tej firmie, jeśli wiadomo, że z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 95 \%}\) pracuje tam co najmniej \(\displaystyle{ 20}\) osób leworęcznych?

Rozkład prawdopodobieństwa potraktowałem jako rozkład binarny: \(\displaystyle{ P _{x}= 0,3\delta _{l}+0,7\delta _{p}}\)

\(\displaystyle{ P(S _{n} \ge 20)=0,95}\)
\(\displaystyle{ P(S _{n} \le 20)=0,05}\)
\(\displaystyle{ P( \frac{S _{n}-n \cdot 0,3 }{ \sqrt{ \frac{21 \cdot n}{100} }} \le \frac{20-n \cdot 0,3}{ \sqrt{n \cdot 0,21} })=0,05}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ n \approx 90,63}\) . Zatem pracowników jest 91.

Czy to jest poprawne?

[janusz47]

Wygląda na poprawne.
Rozpisz dokładniej wartość dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) do uzyskania nierówności na liczbę pracowników.

[Mr Marcin]

Korzystam z centralnego twierdzenia granicznego: \(\displaystyle{ \Phi( \frac{20-n \cdot 0,3}{ \sqrt{0,21 \cdot n} })=0,05}\)

Czyli: \(\displaystyle{ \Phi( \frac{-20+n \cdot 0,3}{ \sqrt{0,21 \cdot n} })=0,95 = \Phi(1,65)}\)
\(\displaystyle{ \frac{200-3 \cdot n}{ \sqrt{21 \cdot n} }= - 1,65}\)

Z powyższego otrzymuję ostatecznie: \(\displaystyle{ n \approx 90,63}\)

Zatem szukana liczba wszystkich pracowników firmy to 91 osób.

Poprawnie rozumuję?

[janusz47]

Dlaczego raz masz w liczniku występuje \(\displaystyle{ 0,4}\) a o linijkę niżej \(\displaystyle{ 0,3?}\)

Czy przejście na \(\displaystyle{ \phi(-\alpha)}\) jest konieczne?

Program R

Kod: Zaznacz cały

> qnorm(0.05)
[1] -1.644854

\(\displaystyle{ 0.05 = \phi(-1,64).}\)

[Mr Marcin]

Powinno być tam 0,3 w liczniku. Przepraszam za pomyłkę. Już poprawiam post.

Przejście wydawało mi się konieczne ze względu na zakres tablic rozkładu normalnego.-- 16 sie 2018, o 18:24 --Czy poza tym jest poprawnie?

[janusz47]

Poprawnie.