istotny kres górny

[linka93]

Mam problem z zagadnieniem istotnego kresu górnego.
Mam podane dwie definicje :
1) \(\displaystyle{ ess \ supX= inf \left\{t\in R}: F_{X}(t)=1 { \right\}}\)
2) \(\displaystyle{ ess \ supX= inf \left\{a\in R}: X \le a\ p.p { \right\}}\)

Nie potrafię ich jednak zrozumieć na tyle by poprawnie stosować w praktyce. Szukam jakichś przykładów, które pewnie pomogłyby mi to zrozumieć np. ile wynosi \(\displaystyle{ ess \ supX}\) jeśli X ma rozkład jednostajny na przedziale ( 0,5).

[squared]

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego:
\(\displaystyle{ F_X(t)= \begin{cases} {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\text{dla }}t<a\\{\frac {t}{5}}&~~~~~{\text{dla }}0\leq t<5\\1&{\text{dla }}t\geq 5\end{matrix}}}\\ \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ F(t)=1 \iff t\geq 5}\), stąd \(\displaystyle{ \text{ess} \sup \ X = 5}\). Wziąłem najmniejszy \(\displaystyle{ t}\), dla którego dystrybuanta jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

Dla rozkładu Beta: \(\displaystyle{ \text{ess} \sup \ X = 1}\), a dla normalnego: \(\displaystyle{ \text{ess} \sup \ X = \infty}\)