Rozkład dwumianowy

[cwaniaczek5]

Niech \(\displaystyle{ X \sim Bin(n, \theta)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ EX}\).

[Premislav]

Zauważ, że \(\displaystyle{ X}\) ma taki sam rozkład, jak suma \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwupunktowym z parametrem \(\displaystyle{ \theta=\mathbf{P}(X_i=1)=1-\mathbf{P}(X_i=0)}\):
\(\displaystyle{ X_1+X_2+\ldots+X_n}\).
Każda taka zmienna losowa ma wartość oczekiwaną równą \(\displaystyle{ 1\cdot \theta+0\cdot (1-\theta)=\theta}\), a wartość oczekiwana sumy skończenie wielu zmiennych losowych mających wartość oczekiwaną to suma tychże wartości oczekiwanych, czyli tutaj \(\displaystyle{ n\theta}\).