Prawdopodobieństwo wyrzucenia tej samej l. orłów

[Euler41]

Każdy z dwóch graczy rzuca \(\displaystyle{ n}\) razy monetą. jakie jest prawdopodobieństwo tego, że uzyskali oni tę samą liczbę orłów?

Doszedłem dwiema matodami do takiego rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{ {n \choose k} }{2^{n}} \right)^2}\)


Czy to jest dobre rozwiązanie?

[Premislav]

Wygląda OK, mamy niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2}\) (liczba wyrzuconych orłów u poszczególnych graczy) o takim samym rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ n\in \NN^+, \ p=\frac 1 2}\).
Wtedy po prostu
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1=X_2)= \sum_{k=0}^{n} \mathbf{P}(X_1=X_2=k)=\\= \sum_{k=0}^{n}\mathbf{P}(X_1=k)\mathbf{P}(X_2=k)=\ldots}\)
(jak ktoś jest pedantem, może to wyprowadzić ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)
i wychodzi jak u Ciebie.
Minimalnie ciekawsze jest to, czy tę sumę można jakoś fajnie zwinąć, zdaje się, że mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}^2={2n\choose n}}\), co nawet ma jakąś interpretację kombinatoryczną (por. \(\displaystyle{ {n \choose k}^2={n\choose k}{n\choose n-k}}\)).-- 13 sie 2018, o 18:57 --Aha, to wszystko oczywiście przy założeniu, że moneta jest symetryczna.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}^2={2n\choose n}}\) co nawet ma jakąś interpretację kombinatoryczną

Ja znam taką interpretację (pochodzi ona z z książki "Markowe wykłady" tylko nie wiem z jakiej części matematyka dyskretna albo teoria liczb...). Dwie osoby mają kolekcję \(\displaystyle{ n}\) znaczków. Chcą się wymienić. Na ile sposobów mogą to zrobić. Strona prawa to przypadek w którym uczestnicy wybierają \(\displaystyle{ k}\) znaczków ze swojej kolekcji co każdy z nich może zrobić na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów a ponieważ jest ich dwóch to wszystkich sposobów jest \(\displaystyle{ {n \choose k} ^2}\) i to sumujemy po wszystkich \(\displaystyle{ k}\) (zaczynając od \(\displaystyle{ k=0}\) co odzwierciedla wymianę pustą). Strona lewa polega na wyłożeniu na stół przez każdego uczestnika swojej \(\displaystyle{ n}\) elementowej kolekcji i wybraniu losowo \(\displaystyle{ n}\) spośród \(\displaystyle{ 2n}\) znaczków, co robimy na \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\) sposobów. Wybrane znaczni trafiają do jednego a znaczki które zostały do drugiego co odpowiada wymianie.