Rozkład dwupunktowy

[cwaniaczek5]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, . . . , X _{n}, . . .}\) są niezależne i mają rozkład \(\displaystyle{ D(0.5)}\). Niech \(\displaystyle{ \eta _{n} = \sum^{n}_{i=1}X _{i}}\) . Obliczyć\(\displaystyle{ P(\eta _{10} = 4}\) \(\displaystyle{ i}\)\(\displaystyle{ \eta _{n} \le 6}\) dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, . . . , 9)}\).

[Igor V]

To chyba chodzi o rozkład zero-jedynkowy (albo po angielsku rozkład Bernoulliego), bo rozkład dwupunktowy jest trójparametrowy. Jeśli tak, to możesz łatwo pokazać że suma niezależnych takich rozkładów ma rozkład dwumianowy:
\(\displaystyle{ P\left(\eta_n = k \right) = {n \choose k} p^k (1 - p)^{(n - k)}}\)
Wtedy np: \(\displaystyle{ P\left(\eta_9 \le 6 \right) = 1 - P\left(\eta_9 > 6 \right)}\)