Rozkład jednostajny

[cwaniaczek5]

Wiadomo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ \eta}\) ma rozkład \(\displaystyle{ U (0, 1)}\), zaś\(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dyskretny \(\displaystyle{ P(X = 1) = P(X = -1) = 0.5}\). Niech \(\displaystyle{ \rho}\) będzie współczynnikiem korelacji między zmiennymi \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \eta}\). Jakie są dopuszczalne wartości współczynnika \(\displaystyle{ \rho}\)?

[Premislav]

Oczywiście \(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{Var}(X)=0,5\cdot (-1)^2+0,5\cdot 1^2-0^2=
1}\),
ponadto nietrudno obliczyć, że
\(\displaystyle{ \mathrm{Var}(\eta)= \int_{0}^{1} \left( x-\frac 1 2\right)^2\,\dd x=\frac{1}{12}}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{\mathbf{E}(\eta X)-\mathbf{E}(\eta)\mathbf{E}(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(\eta)\mathrm{Var}(X)}}=\\=\frac{\mathbf{E}(\eta X)}{\sqrt{12}}=\\=\frac{\mathbf{E}(\eta X)}{2\sqrt{3}}}\)
Z nierówności Schwarza:
\(\displaystyle{ \left( \mahbf{E}(\eta X)\right)^2\le \mathbf{E}(\eta^2)\mathbf{E}(X^2)=\frac 1 3\cdot 1=\frac 1 3}\),
bowiem
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X^2)=0,5\cdot (-1)^2+0,5\cdot 1^2=1}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(\eta^2)= \int_{0}^{1}x^2\,\dd x=\frac 1 3}\),
zatem
\(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt{3}}\le \mathbf{E}(\eta X)\le \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
i „nasz" współczynnik korelacji należy do przedziału
\(\displaystyle{ \left[ -\frac 1 2; \frac 1 2\right]}\)