Rozkład Poissona

[cwaniaczek5]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona takim, że \(\displaystyle{ P(X<1) =
\frac{8}{9} P(X = 2)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ EX}\).

[Premislav]

Jak znasz podstawowe własności rozkładu Poissona (nośnik tego rozkładu to \(\displaystyle{ \NN}\), łącznie z zerem), to jest jasne, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<1)=\mathbf{P}(X=0)}\).
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\) ma wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \lambda}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X)= \sum_{n=0}^{ \infty }n\mathbf{P}(X=n)=\\= \sum_{n=0}^{\infty}n\cdot \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=\\= \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}=\\=\lambda e^{-\lambda} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{(n-1)!}=\\=\lambda e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda}=\\=\lambda}\)

Ponadto
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(x=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!}=e^{-\lambda}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=2)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^2}{2!}}\)
czyli masz równanie na \(\displaystyle{ \lambda}\):
\(\displaystyle{ e^{-\lambda}=\frac 8 9\cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^2}{2!}}\)
z czego łatwo wyliczyć \(\displaystyle{ \lambda=\frac 3 2}\).