Rozkład Poissona

[cwaniaczek5]

Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, ... , X _{n}}\)są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach \(\displaystyle{ Po \left( \lambda _{i} \right)}\), \(\displaystyle{ i=1,2,..,n}\) to zmienna losowa \(\displaystyle{ \eta= \sum^{n}_{i=1}X _{i}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po \left( \sum^{n}_{i=1} \lambda _{i} \right)}\)

[Premislav]

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\) przedstawia się tak:
\(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)= \sum_{k=0}^{ \infty }e^{ikt}\mathbf{P}(X=k)=\\= \sum_{k=0}^{\infty}e^{ikt}\cdot e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\\=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!}=e^{\lambda(e^{it}-1)}}\)

Ponadto funkcja charakterystyczna sumy (skończonej) niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych.
Niech więc \(\displaystyle{ X_1, \ldots X_n}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi i niech \(\displaystyle{ X_j}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathrm{Poiss}(\lambda_j), \ j=1,2\ldots n}\).
Wówczas \(\displaystyle{ X_j}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \varphi_{X_j}(t)=e^{\lambda_j(e^{it}-1)}}\),
zatem
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} X_j}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \prod_{j=1}^{n} e^{\lambda_j(e^{it}-1)}=\exp\left( (e^{it}-1) \sum_{j=1}^{n}\lambda_j \right)}\),
tj. jest to funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z parametrem
\(\displaystyle{ \lambda=\sum_{j=1}^{n}\lambda_j}\).
Ponieważ funkcja charakterystyczna jednoznacznie identyfikuje rozkład, więc dowód można uznać za zakończony.