Sprawdź które funkcje są zm. losowymi

[Euler41]

Niech \(\displaystyle{ \Omega = \left[ 0,1\right]}\), \(\displaystyle{ \mathcal{F} = \left\{ \emptyset, \Omega,\left[ 0, \frac{1}{2}\right) , \left[ \frac{1}{2}, 1\right] \right\}}\), \(\displaystyle{ P}\) dowolne. Sprawdź, które z następujących funkicji są zmiennymi losowymi na \(\displaystyle{ \left( \Omega, \mathcal{F}, P\right)}\)

a)\(\displaystyle{ X(\omega) = [\omega + \frac{3}{4}]}\) dla \(\displaystyle{ t = 2}\), \(\displaystyle{ \omega \in \Omega}\), więc jest zmienną losową.
b) \(\displaystyle{ Y(\omega) = [\omega + \frac{1}{2}] + 2}\) tutaj analogicznie, ale dla \(\displaystyle{ t = 3}\)
c) \(\displaystyle{ Z(\omega) = \begin{cases} 0, gdy \; \omega < \frac{1}{2} \\ 0, gdy \; \omega \ge \frac{1}{2} \end{cases}}\), to też chyba zmienna losowa.

[szw1710]

Zmienna losowa jest funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną. Najpierw sprawdź czy \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest w ogóle sigma-ciałem podzbiorów przedziału \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\).

[Euler41]

Najpierw sprawdź czy \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest w ogóle sigma-ciałem podzbiorów przedziału \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\).

Jest sigma-ciałem.

[szw1710]

Jaki jest związek między \(\displaystyle{ \omega}\), a \(\displaystyle{ t}\) w tym co piszesz?

[Euler41]

\(\displaystyle{ f^{-1}(\omega) < t}\)?

[szw1710]

Tak nie będziemy zgadywać. Musisz porządnie zdefiniować te funkcje, a dopiero potem można sprawdzać ich mierzalność. Mniej więcej orientuję się, co chcesz napisać, ale to Ty musisz zacząć od porządnego zapisana definicji funkcji mierzalnej i dopiero możesz sprawdzać ten warunek.

Funkcja \(\displaystyle{ Y}\) tu zwyczajne zaokrąglanie na ogólnych zasadach przesunięte o dwa. Więc mamy

\(\displaystyle{ Y(\omega)=\begin{cases}2&\text{dla }0\le\omega<\frac{1}{2}\\3&\text{dla }\frac{1}{2}\le\omega\le 1.\end{cases}}\)

Więc jeśli \(\displaystyle{ t\le 2}\), to \(\displaystyle{ A_t:=\{\omega\colon Y(\omega)<t\}=\emptyset\in\mathcal{F}.}\) Jeśli \(\displaystyle{ 2<t\le 3}\), to \(\displaystyle{ A_t={omegacolon Y(omega)=2}=left[0,frac{1}{2}
ight)inmathcal{F}.}\) Jeśli \(\displaystyle{ t>3}\), to \(\displaystyle{ A_t=\Omega\in\mathcal{F}.}\) Tak więc \(\displaystyle{ Y}\) jest funkcją \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\)-mierzalną, czyli jest zmienną losową, gdyż dla każdego \(\displaystyle{ t\in\RR}\) mamy \(\displaystyle{ A_t\in\mathcal{F}.}\)

Podobnie zrób pozostałe przykłady.

[Euler41]

Tak nie będziemy zgadywać. Musisz porządnie zdefiniować te funkcje, a dopiero potem można sprawdzać ich mierzalność. Mniej więcej orientuję się, co chcesz napisać, ale to Ty musisz zacząć od porządnego zapisana definicji funkcji mierzalnej i dopiero możesz sprawdzać ten warunek.

Definicja: Funkcja \(\displaystyle{ X}\) określona na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ \left( \Omega, \mathcal{F}, P\right)}\) o wartościach na prostej \(\displaystyle{ \RR}\) jest zmienną losową, jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ t \in \RR}\) zachodzi warunek:
\(\displaystyle{ X^{-1}\left( \left( - \infty, t\right) \right) = \left\{ \omega \in \Omega : X(\omega) < t \right\} \in \mathcal{F}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ Y}\) tu zwyczajne zaokrąglanie na ogólnych zasadach przesunięte o dwa. Więc mamy

\(\displaystyle{ Y(\omega)=\begin{cases}2&\text{dla }0\le\omega<\frac{1}{2}\\3&\text{dla }\frac{1}{2}\le\omega\le 1.\end{cases}}\)

Nie rozumiem, dlaczego to jest zaokrąglenie?

Podobnie zrób pozostałe przykłady.

Bardzo chętnie, ale niestety nie bardzo rozumiem co stało się w tym przykładzie.