Gęstość zmiennej losowej

xtheo · Post autor: **xtheo** » 27 cze 2018, o 15:47

Witam, jak uzasadnić czy ta funkcja jest gęstością pewnej zmiennej losowej?

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \cos (\ln (1+x)) &\mbox{dla }x>0 \\ 0 &\mbox{dla }x<0 \end{cases}}\)

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś to dokładnie wytłumaczył
Z góry dzieki

leg14 · Post autor: **leg14** » 27 cze 2018, o 16:38

Gęstość musi przede wszystkim być nieujemna prawie wszędzie.

xtheo · Post autor: **xtheo** » 27 cze 2018, o 16:44

prawie wszędzie

nie brzmi za bardzo matematycznie
Ogólnie wydaje mi się, że całka z funkcji gęstości na przedziale \(\displaystyle{ (\left- \infty, \right+ \infty )}\) musi być równa 1.
Ale nie mam pomysłu jak tutaj to udowodnić :C

leg14 · Post autor: **leg14** » 27 cze 2018, o 17:23

nie brzmi za bardzo matematycznie

To oznacza, że zbiór, na którym jest ujemna jest miary Lebesque'a zero - i tę drogę Ci polecam, bo jest szybka i przyjemna (łatwo wskazać przediał, na którym ten kandydat na gęstość jest ujemny).