\(\displaystyle{ X_{i}, i=1, ..., n, n \ge 1}\) — niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ U\left(0, 1 \right)}\),
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n}X_{i} ,\\
Z_{n}=\max \left(X_{i}, ..., X_{n}\right)}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)}\).
Mamy
\(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)=E\left(S_{n}Z_{n}\right)-ES_{n}EZ_{n}}\)
\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right) \right)=nE\left(X_{1}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right)\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ U=\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right), V=X_{1}}\). Dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\) mamy
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=\\=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ f\left(v, u\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial v \partial u}vu^{n-1}=\left(n-1\right)u^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ E\left(VU\right)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{u} vu\left(n-1\right) u^{n-2} \mbox{d}v \mbox{d}u= \frac{n-1}{2\left( n+2\right) }}\)
\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)= \frac{n\left(n-1\right)}{2\left(n+2\right)}}\)
\(\displaystyle{ ES_{n}=nEV=\frac{n}{2}}\)
\(\displaystyle{ F\left(u\right)=u^{n}, f\left(u\right)=nu^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ EZ_{n}=EU=\frac{n}{n+1}}\)
Co tu jest źle?
Kowariancja funkcji zmiennych losowych
Kowariancja funkcji zmiennych losowych
Ostatnio zmieniony 6 lip 2018, o 16:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 137
- Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 36 razy
Kowariancja funkcji zmiennych losowych
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)
To nie do końca prawda
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)= \left\{ \begin{array}{cc} u^n, \quad u,v \in [0,1] , \quad u \le v \\ v u^{n-1}, \quad u,v \in [0,1] , \quad u>v \end{array} \right}\)
To nie do końca prawda
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)= \left\{ \begin{array}{cc} u^n, \quad u,v \in [0,1] , \quad u \le v \\ v u^{n-1}, \quad u,v \in [0,1] , \quad u>v \end{array} \right}\)
Kowariancja funkcji zmiennych losowych
Napisałem, że
\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=vu^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\).
Dystrybuanta w całej okazałości prezentuje się oczywiście tak:
\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=\begin{cases} vu^{n-1}, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le u \le 1\\u^{n}, \hbox{ jeśli } 0 \le u \le 1, v>u\\ v, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le 1, u>1\\1, \hbox{ jeśli } u, v >1\\0, \hbox{ jeśli } v<0 \hbox{ lub } u<0 \end{cases}}\).
Ale nie obliczenie całej dystrybuanty jest celem zadania. Nie trzeba jej też liczyć dla wszystkich obszarów, bowiem, jeśli wyjdziemy poza obszar zmienności którejś ze zmiennych, gęstość się wyzeruje, więc musimy pozostać w trójkącie \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\). Tyle że zaprezentowane obliczenia dają w wyniku funkcję \(\displaystyle{ f\left(v,u\right)=\left( n-1\right) u ^{n-2}}\), która nie jest gęstością na tym trójkącie, bo całka z \(\displaystyle{ f}\) po tym trójkącie nie jest równa 1. Albo więc gdzieś się mylę, albo nie widzę czegoś, czego tu brakuje.
\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=vu^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\).
Dystrybuanta w całej okazałości prezentuje się oczywiście tak:
\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=\begin{cases} vu^{n-1}, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le u \le 1\\u^{n}, \hbox{ jeśli } 0 \le u \le 1, v>u\\ v, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le 1, u>1\\1, \hbox{ jeśli } u, v >1\\0, \hbox{ jeśli } v<0 \hbox{ lub } u<0 \end{cases}}\).
Ale nie obliczenie całej dystrybuanty jest celem zadania. Nie trzeba jej też liczyć dla wszystkich obszarów, bowiem, jeśli wyjdziemy poza obszar zmienności którejś ze zmiennych, gęstość się wyzeruje, więc musimy pozostać w trójkącie \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\). Tyle że zaprezentowane obliczenia dają w wyniku funkcję \(\displaystyle{ f\left(v,u\right)=\left( n-1\right) u ^{n-2}}\), która nie jest gęstością na tym trójkącie, bo całka z \(\displaystyle{ f}\) po tym trójkącie nie jest równa 1. Albo więc gdzieś się mylę, albo nie widzę czegoś, czego tu brakuje.