Kowariancja funkcji zmiennych losowych

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
mmm6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 cze 2018, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Uganda

Kowariancja funkcji zmiennych losowych

Post autor: mmm6 »

\(\displaystyle{ X_{i}, i=1, ..., n, n \ge 1}\) — niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ U\left(0, 1 \right)}\),
\(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n}X_{i} ,\\
Z_{n}=\max \left(X_{i}, ..., X_{n}\right)}\)
.

Obliczyć \(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)}\).

Mamy

\(\displaystyle{ Cov\left(S_{n}, Z_{n}\right)=E\left(S_{n}Z_{n}\right)-ES_{n}EZ_{n}}\)

\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right) \right)=nE\left(X_{1}\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right)\right)}\)

Niech \(\displaystyle{ U=\max \left(X_{1}, ..., X_{n}\right), V=X_{1}}\). Dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\) mamy

\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=\\=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ f\left(v, u\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial v \partial u}vu^{n-1}=\left(n-1\right)u^{n-2}}\)

\(\displaystyle{ E\left(VU\right)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{u} vu\left(n-1\right) u^{n-2} \mbox{d}v \mbox{d}u= \frac{n-1}{2\left( n+2\right) }}\)

\(\displaystyle{ E\left(S_{n}Z_{n}\right)= \frac{n\left(n-1\right)}{2\left(n+2\right)}}\)

\(\displaystyle{ ES_{n}=nEV=\frac{n}{2}}\)

\(\displaystyle{ F\left(u\right)=u^{n}, f\left(u\right)=nu^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ EZ_{n}=EU=\frac{n}{n+1}}\)

Co tu jest źle?
Ostatnio zmieniony 6 lip 2018, o 16:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Kowariancja funkcji zmiennych losowych

Post autor: Pakro »

\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)=P\left(V\le v, U\le u\right)=P\left(U\le u\right)-P\left(U\le u, V>v\right)=P\left(X_{1}\le u, ..., X_{n}\le u\right)-P\left(v<X_{1}\le u, X_{2}\le u, ..., X_{n}\le u\right)=vu^{n-1}}\)
To nie do końca prawda
\(\displaystyle{ F\left(v,u\right)= \left\{ \begin{array}{cc} u^n, \quad u,v \in [0,1] , \quad u \le v \\ v u^{n-1}, \quad u,v \in [0,1] , \quad u>v \end{array} \right}\)
mmm6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 cze 2018, o 18:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Uganda

Kowariancja funkcji zmiennych losowych

Post autor: mmm6 »

Napisałem, że

\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=vu^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\).

Dystrybuanta w całej okazałości prezentuje się oczywiście tak:

\(\displaystyle{ F\left(v, u\right)=\begin{cases} vu^{n-1}, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le u \le 1\\u^{n}, \hbox{ jeśli } 0 \le u \le 1, v>u\\ v, \hbox{ jeśli } 0 \le v \le 1, u>1\\1, \hbox{ jeśli } u, v >1\\0, \hbox{ jeśli } v<0 \hbox{ lub } u<0 \end{cases}}\).

Ale nie obliczenie całej dystrybuanty jest celem zadania. Nie trzeba jej też liczyć dla wszystkich obszarów, bowiem, jeśli wyjdziemy poza obszar zmienności którejś ze zmiennych, gęstość się wyzeruje, więc musimy pozostać w trójkącie \(\displaystyle{ 0 \le v \le u \le 1}\). Tyle że zaprezentowane obliczenia dają w wyniku funkcję \(\displaystyle{ f\left(v,u\right)=\left( n-1\right) u ^{n-2}}\), która nie jest gęstością na tym trójkącie, bo całka z \(\displaystyle{ f}\) po tym trójkącie nie jest równa 1. Albo więc gdzieś się mylę, albo nie widzę czegoś, czego tu brakuje.
ODPOWIEDZ