Zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkład jednostajny na zbiorze \(\displaystyle{ \{ 0,...,n \}}\). Określono zmienną losową \(\displaystyle{ Z=X^2 - 2XY +Y^2}\). Znaleźć jej rozkład i wartość oczekiwaną.
Utknęłam w takim miejscu:
\(\displaystyle{ F_{Z} (k) =P(Z \le k) =P((X-Y) ^{2} \le k)}\)
Znaleźć rozkład zmiennej losowej
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
- Poszukujaca
- Użytkownik
- Posty: 2775
- Rejestracja: 21 maja 2012, o 23:32
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1019 razy
- Pomógł: 166 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Znaleźć rozkład zmiennej losowej
Więc \(\displaystyle{ P((X-Y)^2 = k) = P(X-Y = \sqrt{k}) + P(X-Y = -\sqrt{k})}\), dla \(\displaystyle{ k \neq 0}\),
z kolei \(\displaystyle{ P((X-Y)^2 = 0) = P(X-Y = 0)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ k \neq t^2}\) to te prawdopodobieństwa są \(\displaystyle{ 0}\), więc nie ma czego liczyć. Zakładamy \(\displaystyle{ k = t^2}\).
Teraz, żeby policzyć \(\displaystyle{ P(X-Y = t)}\) skorzystamy z niezależności (to jest właściwie wzór na rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych)
\(\displaystyle{ P(X-Y = t) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(-Y = t - l) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(Y = l-t)}\).
Większość składników tej sumy to \(\displaystyle{ 0}\). Polecam popatrzeć co się dzieje dla konkretnych wartości \(\displaystyle{ t}\) a potem uogólnić.
z kolei \(\displaystyle{ P((X-Y)^2 = 0) = P(X-Y = 0)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ k \neq t^2}\) to te prawdopodobieństwa są \(\displaystyle{ 0}\), więc nie ma czego liczyć. Zakładamy \(\displaystyle{ k = t^2}\).
Teraz, żeby policzyć \(\displaystyle{ P(X-Y = t)}\) skorzystamy z niezależności (to jest właściwie wzór na rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych)
\(\displaystyle{ P(X-Y = t) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(-Y = t - l) = \sum_{l=-\infty}^{\infty} P(X = l)P(Y = l-t)}\).
Większość składników tej sumy to \(\displaystyle{ 0}\). Polecam popatrzeć co się dzieje dla konkretnych wartości \(\displaystyle{ t}\) a potem uogólnić.