Okres gwarancji przy rozkładzie normalnym

[Wolff]

Czas sprawnego działania (w godzinach) urządzenia jest okroślony zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) mającą rozkład \(\displaystyle{ N(225, 40)}\). Jaki powinien być okres gwarancji aby tylko \(\displaystyle{ 1,73\%}\) urządzeń uległo awarii przed jej końcem. Narysować funkcję gęstości \(\displaystyle{ X}\), zaznaczyć wydarzenie \(\displaystyle{ |X-EX|>0,6 \cdot \sqrt{VarX }}\), i obliczyć jego prawdopodobieństwo.
Dzięki wielkie za pomoc!

[janusz47]

1. Badamy przebieg zmienność i sporządzamy wykres funkcji gęstości \(\displaystyle{ f \sim \mathcal{N}( 225, 40)}\) określonej wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{40\cdot 2\pi}}e ^{-\frac{(x-225)^2}{2\cdot 40}}}\)

2. Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ E(X) = 225, \ \ \sqrt{Var} = \sqrt{40}.}\)

3.Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną, znajdując dwa przedziały \(\displaystyle{ (-\infty, x_{1}\rangle , \ \ \langle x_{2}, \infty).}\)

4.Zaznaczamy na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f}\) (krzywej Gaussa) pola odpowiadające tym przedziałom.

5. Wyznaczamy czas \(\displaystyle{ t}\) z równania:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t} f(x) dx = 0,0173,}\)

wykonując standaryzację do rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) czyli podstawienie \(\displaystyle{ t:= \frac{x-225}{\sqrt{40}}.}\)

6. Obliczamy wartości prawdopodobieństw odpowiadające zaznaczonym w punkcie 4 polom.

[Wolff]

Niestety nic nie rozumiem. Muszę sobie chyba odpuścić ten typ zadań całkiem. Dzięki i tak za poświęcony czas.