Wartość granicy CTG

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Wartość granicy CTG

Post autor: tangerine11 » 23 cze 2018, o 16:46

Wykorzystując centralne twierdzenie graniczne oraz fakt, że \(\displaystyle{ X_{1} + X_{2} \approx P(\lambda_{1}+\lambda_{2})}\) dla \(\displaystyle{ X_{1} \approx ~ \lambda_{1}}\), \(\displaystyle{ X_{2} \approx \lambda_{2}}\), udowodnić:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}}\)

Powiem szczerze że kompletnie nie wiem, jak się za to zabrać
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14931
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 134 razy
Pomógł: 4942 razy

Re: Wartość granicy CTG

Post autor: Premislav » 23 cze 2018, o 18:11

Niech \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1+X_2+\ldots +X_n \le n)=\mathbf{P}\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n}(x_i-1)\le 0 \right) \stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \Phi\left( 0\right)}\)
na mocy CTG.

Ponadto skoro \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathrm{Poiss}(1)}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} X_i}\) ma rozkłąd Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=n}\) (suma \(\displaystyle{ n}\) jedynek) i ta Twoja suma to jest właśnie
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1+X_2+\ldots+X_n\le n)}\).-- 23 cze 2018, o 17:17 --Aha, oczywiście \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.

tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Wartość granicy CTG

Post autor: tangerine11 » 23 cze 2018, o 18:31

Rzeczywiście, \(\displaystyle{ \Phi (0) = \frac{1}{2}}\). Jakie to wszystko jest proste i eleganckie jak się widzi rozwiązanie, a wymyślić czasem tak ciężko :/

Dziękuję bardzo za pomoc!

ODPOWIEDZ