Rzeczywiste zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne przy czym \(\displaystyle{ P(X=1)=P(X=-1)=1/2}\) zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy i \(\displaystyle{ EY=2}\). Proszę wyznaczyć gęstość zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y^2,Y^2X}\) oraz \(\displaystyle{ X+Y^2}\).
Jak to zrobić?
Rzeczywiste zmienne losowe
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rzeczywiste zmienne losowe
Skoro \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, a funkcja \(\displaystyle{ f(t)=t^2}\)jest ciągła (jako funkcja wielomianowa), a więc i borelowska, zatem zmienne losowe \(\displaystyle{ X, \ Y^2}\) są niezależne.
Rozkład \(\displaystyle{ Y^2}\) można wyznaczyć, patrząc na ogon (to jest równoważne spojrzeniu na dystrybuantę, a w przypadku wykładniczego ciut wygodniejsze obliczeniowo) i korzystając z nieujemności \(\displaystyle{ Y}\) (w końcu \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2>t)=\mathbf{P}\left( Y>\sqrt{t}\right)=e^{-\frac 1 2 \sqrt{t}}}\), oczywiście \(\displaystyle{ t\ge 0}\) (dla \(\displaystyle{ t<0}\) to prawdopodobieństwo w sposób oczywisty wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo każda liczba nieujemna jest większa od dowolnej ujemnej).
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2\le t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t<0 \\ 1-e^{-\frac 1 2 \sqrt{t}} \text{ dla } t\ge 0\end{cases}}\)
Stąd, różniczkując, możesz bez trudu wyznaczyć gęstość rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ Y^2}\).
Trochę (lecz niewiele) ciekawiej jest z \(\displaystyle{ Y^2 X}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2 X\le t)=\\=\mathbf{P}\left( Y^2 X\le t, X=1\right) \mathbf{P}(X=1)+\mathbf{P}(Y^2X \le t, X=-1)\mathbf{P}(X=-1)=\\=\frac 1 2\mathbf{P}\left( Y^2 \le t\right) +\frac 1 2\mathbf{P}(-Y^2 \le t)}\)
i podobnie rozwalasz to \(\displaystyle{ X+Y^2}\), rozważasz dystrybuantę, rozbijasz to jak pisałem, liczysz, różniczkujesz. Tu nie ma nic mądrego.
Rozkład \(\displaystyle{ Y^2}\) można wyznaczyć, patrząc na ogon (to jest równoważne spojrzeniu na dystrybuantę, a w przypadku wykładniczego ciut wygodniejsze obliczeniowo) i korzystając z nieujemności \(\displaystyle{ Y}\) (w końcu \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2>t)=\mathbf{P}\left( Y>\sqrt{t}\right)=e^{-\frac 1 2 \sqrt{t}}}\), oczywiście \(\displaystyle{ t\ge 0}\) (dla \(\displaystyle{ t<0}\) to prawdopodobieństwo w sposób oczywisty wynosi \(\displaystyle{ 1}\), bo każda liczba nieujemna jest większa od dowolnej ujemnej).
Zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2\le t)= \begin{cases} 0 \text{ dla } t<0 \\ 1-e^{-\frac 1 2 \sqrt{t}} \text{ dla } t\ge 0\end{cases}}\)
Stąd, różniczkując, możesz bez trudu wyznaczyć gęstość rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ Y^2}\).
Trochę (lecz niewiele) ciekawiej jest z \(\displaystyle{ Y^2 X}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y^2 X\le t)=\\=\mathbf{P}\left( Y^2 X\le t, X=1\right) \mathbf{P}(X=1)+\mathbf{P}(Y^2X \le t, X=-1)\mathbf{P}(X=-1)=\\=\frac 1 2\mathbf{P}\left( Y^2 \le t\right) +\frac 1 2\mathbf{P}(-Y^2 \le t)}\)
i podobnie rozwalasz to \(\displaystyle{ X+Y^2}\), rozważasz dystrybuantę, rozbijasz to jak pisałem, liczysz, różniczkujesz. Tu nie ma nic mądrego.