Rozkład cechy

[Benny01]

Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy \(\displaystyle{ Exp\left( \lambda \right)}\) z funkcją gęstości \(\displaystyle{ f_X\left( x\right)= \lambda e^{- \lambda \cdot x}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\). Niech \(\displaystyle{ N= \left\lfloor X \right\rfloor}\). Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję \(\displaystyle{ N}\).

Próbowałem znaleźć ten rozkład, ale coś mi cały czas nie idzie. Myślałem, aby sumować po przedziałach długości \(\displaystyle{ 1}\), ale nie wiedziałem jak to ładnie zapisać.

[leg14]

\(\displaystyle{ \PP(N = k ) = \int_{k}^{k+1} \lambda e^{- \lambda \cdot x} dx}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 0}\)

[Benny01]

No i to musimy sumować od 0 do inf?

[leg14]

No jeśli chcesz obliczyć wartość oczekiwaną to musisz coś tam dodać jeszcze.

[Benny01]

Dobra, wiem o co mi chodziło, ale się wyraziłem dosyć dziwnie. Jak mamy rozkład dyskretny to w jaki sposób możemy znaleźć jego dystrybuantę? Czy to ma być suma od \(\displaystyle{ 0}\) do danego elementu? W jaki sposób możemy znaleźć taką sumę?

[Premislav]

A czemu akurat od zera? Tutaj tak, ponieważ tak wygląda nośnik rozkładu, ale tak nie jest ogólnie,

Jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład dyskretny z nośnikiem \(\displaystyle{ S}\) (tj. \(\displaystyle{ S=\left\{(s_i)_{i\in I} \right\}}\) jest zbiorem przeliczalnym, dla którego \(\displaystyle{ \sum_{i \in I}^{} \mathbf{P}(X=s_i)=1}\)), to dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\) masz po prostu
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\le x)= \sum_{i\in I}^{} \mathbf{P}(X=s_i)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(s_i \le x)}\),
czyli sumujesz prawdopodobieństwa przyjęcia wszystkich wartości nie większych niż \(\displaystyle{ x.}\)
Ale nie tyle wyraziłeś się niejasno, co zadałeś teraz kompletnie inne pytanie. To jest różnica.

[Benny01]

Znaczy, bo moim założeniem na początku było znalezienie dystrybuanty tego rozkładu i oczywiście masz racje, że nie zawsze sumujemy od zera. Czy potrafisz wyprowadzić wzór na dystrybuantę rozkładu Poissona?

[Premislav]

Zwarty wzór (przynajmniej wyrażający się poprzez funkcje elementarne) nie istnieje (chociaż nie umiem tego udowodnić). A po co Ci ta dystrybuanta?

[Benny01]

Nie potrzebna, chciałem tylko zobaczyć jak wygląda wyprowadzenie takiego czegoś.

[leg14]

PO co ta cała dyskusja skoro tutaj wyprowadzenei dystrybuanty jest elementarne?

[Premislav]

Ja w sumie opowiem żart na temat tego wątku.

– Ilu abstrakcjonistów potrzeba, żeby wkręcić żarówkę?
- Ryba.

[Benny01]

Mocne, trochę chyba przesadziłeś.

[Premislav]

Może i faktycznie przesadziłem…
Gdybyś założył po prostu drugi wątek, bądź chociaż zaznaczył jakoś, że już sobie poradziłeś z tamtym zadaniem, to wszystko byłoby OK. A tak troszkę jednak namieszałeś, ponieważ ni stąd ni zowąd zacząłeś pisać na temat dystrybuanty (która przy rozkładach dyskretnych się stosunkowo rzadko przydaje, jeśli już, to się jakoś to aproksymuje), co stworzyło wrażenie, że znajdowanie dystrybuanty jakoś wiąże się z treścią zadania (nie wiąże się, nic to nie przyspieszy). No a później, wciąż bez stwierdzenia, iż rozwiązałeś zadanie, spytałeś o dystrybuantę rozkładu Poissona, która to nijak ma się do tego wątku. Chyba wprowadziło to trochę chaosu, bo już np. leg14 tak to odczytał, że cały czas piszesz o tytułowym zadaniu.

Żeby nie spamować:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(N)= \sum_{k=0}^{+\infty}k \int_{k}^{k+1} \lambda e^{- \lambda \cdot x} dx=\\=\sum_{k=0}^{+\infty}k\left( e^{-\lambda k}-e^{-\lambda(k+1)}\right)=\\=\left( 1-e^{-\lambda}\right) \sum_{k=0}^{+\infty}ke^{-\lambda k}=\frac{1}{1-e^{-\lambda}}}\)

[Benny01]

Również otrzymałem taki wynik. Dzięki