Funkcja charakterystyczna funkcji

[ShinyCharlotte]

Witam! Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić jak wyznaczać funkcję charakterystyczną na przykładzie tego zadania?

Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy wyznaczyć jej funkcję charakterystyczną wartość średnią i wariancję.

[Premislav]

Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jej funkcja charakterystyczna to z definicji
\(\displaystyle{ \varphi_X(t)=\mathbf{E}\left( e^{itX}\right)}\).
Zobaczmy jak to działa tutaj: powiedzmy, że mamy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ n\in \NN^+, \ p\in (0,1)}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \varphi_X(t)= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}e^{ikt}=\\= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(pe^{it})^k(1-p)^{n-k}=\left( pe^{it}+1-p\right)^n}\),
gdzie w ostatniej równości skorzystałem ze wzoru dwumianowego Newtona.
W celu wyznaczenia wartości oczekiwanej i wariancji można skorzystać z własności
\(\displaystyle{ i^n \mathbf{E}(X^n)=\varphi^{(n)}(0)}\)
(pochodna n-tego rzędu) i \(\displaystyle{ \mathrm{Var}(X)=\mathbf{E}(X^2)-(\mathbf{E}X)^2}\).