Moment rzędu czwartego

[cwaniaczek5]

Wiadomo, że dla każdej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) mającej skończone momenty do czwartego rzędu włącznie zachodzi \(\displaystyle{ E(X-EX)^{4} > (E(X-EX) ^{2}) ^{4}}\) . Pokazać, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X}\)ma rozkład \(\displaystyle{ D(0,5)}\).

[Premislav]

Moim zdaniem coś tu nie gra, dla zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym z \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=-n)=\frac 1 2, \ \mathbf{P}(X=n)=\frac 1 2, \ n>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X=0\\ \mathbf{E}(X-\mathbf{E}X)^2=n^2\\\mathbf{E}(X-\mathbf{E}X)^4=n^4}\)
i dostajemy nierówność \(\displaystyle{ n^4>n^8,}\) która to jest niestety bzdurą. Jesteś pewien, że właśnie tak wygląda treść zadania -- 10 cze 2018, o 20:24 --Może chodziło o taką nierówność:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X-\mathbf{E}X)^{4}\ge (\mathbf{E}|X-\mathbf{E}X|) ^{4}}\)
Tak na dobrą sprawę to jest nierówność Höldera, jak się dopisze jako czynnik po lewej taką całkę \(\displaystyle{ \left(\mathbf{E}(1^{\frac 4 3})\right)^3}\)
gdzie „1" jest zmienną losową równą \(\displaystyle{ 1}\) prawie na pewno. Można też powiedzieć, że to nierówność Jensena dla wypukłej funkcji \(\displaystyle{ g(t)=t^4}\).
Ale nie wiem, czy o to chodziło, więc…

[cwaniaczek5]

... _zbior.pdf strona 26 zad. 2.24 stąd treść zadania

[Premislav]

Widzę, faktycznie tak tam napisano. Niestety więc treść zadania jest niepoprawna, czy raczej teza jest fałszywa.