Zmienna losowa

[cwaniaczek5]

Ciągła zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) i gęstość rozkładu prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła dla \(\displaystyle{ x > 1}\), \(\displaystyle{ F(1) = 0}\), \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{1-F(x)}= \frac{1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x > 1}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ P(X> 2)}\).
Więc \(\displaystyle{ F(x)= 1 - x \cdot f(x)}\) a \(\displaystyle{ P(X> 2)= 1 - F(2) = 1 - (1-2 \cdot f(2)) =2 \cdot f(2)}\). I nie wiem jak dalej.

[Premislav]

Dystrybuanta spełnia więc równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ y(x)=1-xy'(x)}\) z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(1)=0}\).
Równoważnie:
\(\displaystyle{ xy'(x)+y(x)=1\\ (xy)'=1\\ \int_{1}^{x}(ty'(t))'\,\dd t = \int_{1}^{x}1\,\dd t\\ xy-y(1)=x-1\\ y=1-\frac 1 x, \ x\ge 1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X>2)=1-\mathbf{P}(X\le 2)=1-\left( 1-\frac 1 2\right) =\frac 1 2}\)

[cwaniaczek5]

Z czego wynika
\(\displaystyle{ (xy)'=1}\)?

[Premislav]

To jest wzór na pochodną iloczynu, tylko zastosowany w drugą stronę:
\(\displaystyle{ h'(x)\cdot g(x)+h(x)\cdot g'(x)=(h(x)\cdot g(x))'}\)
Po prostu zauważyłem, że wyrażenie \(\displaystyle{ x\cdot y'(x)+1\cdot y(x)}\) jest tej postaci, dla
\(\displaystyle{ h(x)=y(x), \ g(x)=x}\).
Zauważanie takich rzeczy wynika po prostu z dużej liczby przerobionych zadań.

[Benny01]

Można to całkować od razu, bo mamy równanie o zmiennych rozdzielonych.
Całkując to obustronnie mamy:
\(\displaystyle{ \ln \left( F\left( x\right)-1 \right)= \ln \left( \frac{C}{x}\right)}\)
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \frac{C}{x}+1}\)
Uwzględniając warunek początkowy:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) =1-\frac{1}{x}}\)

[Premislav]

Słuszna uwaga, nie ma to jak przekształcać do mniej wygodnej postaci, żeby sobie utrudnić zadanie.