Rozkłady zmiennych niezależnych

[Benny01]

Wiemy, że \(\displaystyle{ Y=2X+W}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ W}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi, \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N\left( 0,3^2\right)}\) i \(\displaystyle{ W}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N\left( 0,2^2\right)}\). Jeśli zachodzi związek \(\displaystyle{ X= \alpha Y+U}\) i zmienne \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ U}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równa:

Z powyższych danych mam, że \(\displaystyle{ X= \alpha \left( 2X+W\right) +U}\).
Z tego mam, że \(\displaystyle{ 0=\mathbb{E} X=\mathbb{E} U}\)
Teraz korzystając z wariancji mam:
\(\displaystyle{ 9=VarX=40 \alpha ^2 +VarU=40 \alpha ^2 + \mathbb{E}U^2}\), bo \(\displaystyle{ \mathbb{E}U=0}\)
Nie mam pojęcia jak pozbyć się tego \(\displaystyle{ U}\).

[Premislav]

Skoro są niezależne, to ich kowariancja wynosi zero, jeśli się nie mylę.
Ma więc zachodzić:
\(\displaystyle{ 0=\mathbf{E}(UY)-\mathbf{E}U\mathbf{E}Y=\mathbf{E}\left( \left( X-\alpha Y\right) Y\right)-\mathbf{E}(X-\alpha Y)\mathbf{E}Y=\ldots}\)

Nie chce mi się tego pisać, ale powinno wyjść. Same obliczenia.

-- 10 cze 2018, o 17:41 --

Można sprytniej:
popatrzmy na wektor losowy \(\displaystyle{ (U, Y)}\) jak na liniową transformację wektora losowego \(\displaystyle{ (X, W)}\).
Skoro \(\displaystyle{ X, \ W}\) są niezależne i mają rozkłady jak wyżej, to wektor losowy \(\displaystyle{ (X, W)}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem wartości oczekiwanych \(\displaystyle{ \mathbf{0}}\) i macierzą wariancji i kowariancji \(\displaystyle{ \Sigma=\left[\begin{array}{cc}3^2&0\\0&2^2\end{array}\right]}\)
Mamy \(\displaystyle{ U=X-\alpha Y=X-\alpha(2X+W)}\) oraz \(\displaystyle{ Y=2X+W}\), na tej podstawie można napisać odpowiednią macierz:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1-2\alpha&-\alpha\\2&1\end{array}\right]}\)
taką, że
\(\displaystyle{ (U, Y)^t=A(X, W)^t}\) i co teraz
A no, wektor losowy \(\displaystyle{ (U, Y)}\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny z wektorem wartości oczekiwanych \(\displaystyle{ A\mathbf{0}=\mathbf{0}}\) i macierzą wariancji i kowariancji, która wygląda… powinieneś wiedzieć, jak. Dobrze sobie utrwalać przed egzaminem.

No i w otrzymanej macierzy wyrazy poza główną przekątną powinny być zerowe, to da jakiś warunek na \(\displaystyle{ \alpha}\).

[Benny01]

Rozwiązałem sposobem pierwszym. Spróbuje jeszcze później sposobem macierzowym i porównam wyniki. Dzięki wielkie -- 10 cze 2018, o 21:11 --Wyszło to samo, gites