Losowanie ze zwracaniem

[cwaniaczek5]

W umie znajduje się dziesięć kul, ponumerowanych liczbami \(\displaystyle{ 1, 2, . . . , 10}\). Losujemy ze zwracaniem czterokrotnie po jednej kuli. Niech\(\displaystyle{ S}\) oznacza sumę numerów wylosowanych kul. Umawiamy się przy tym, że każdy wylosowany numer występuje w sumie tylko raz, (np. jeśli wylosowaliśmy kule o numerach \(\displaystyle{ 3, 1, 5, 3}\), to \(\displaystyle{ S = 3+1+5 = 9)}\).
Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ S}\).

[tomwanderer]

Ok, nikt się nie wyrywa, więc przedstawię moje zapiski. Przy okazji fajnie by było, gdyby ktoś zechciał to zweryfikować.

Niech \(\displaystyle{ S_i}\) - wartość, którą dodajemy do sumy po \(\displaystyle{ i}\)-tym losowaniu. Przykładowo, jeżeli wylosowaliśmy kolejno \(\displaystyle{ 2,4,2,7}\), to \(\displaystyle{ S_1=2}\), \(\displaystyle{ S_2=4}\), \(\displaystyle{ S_3=0}\) (skoro dwójka się powtórzyła) oraz \(\displaystyle{ S_4=7}\). Z kolei poprzez \(\displaystyle{ X_i}\) będziemy oznaczać numer wylosowanej kuli w \(\displaystyle{ i}\)-tym losowaniu.

Oczywiście \(\displaystyle{ E(S)=E(S_1)+E(S_2)+E(S_3)+E(S_4)}\).

\(\displaystyle{ E(S_1)}\) policzymy bez problemu, a resztę ze wzorów tego typu (przykładowo dla \(\displaystyle{ S_4}\)):
\(\displaystyle{ E(S_4)=\sum_{k=1}^{10} \sum_{l=1}^{10} \sum_{m=1}^{10} E(S_4|X_1=k,X_2=l,X_3=m)\cdot P(X_1=k,X_2=l,X_3=m)}\)

Chyba nie muszę ostrzegać, że będzie to żmudne i mało kreatywne. Ale lećmy od początku:

\(\displaystyle{ E(S_1)=\frac{1}{10}\cdot 1+...+ \frac{1}{10}\cdot 10=\frac{1}{10} \cdot 55 =5,5}\)

Następnie:

\(\displaystyle{ E(S_2)=\sum_{k=1}^{10}E(S_2|X_1=k)P(X_1=k)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ P(X_1=k)=\frac{1}{10}}\). Skupmy się na:
\(\displaystyle{ E(S_2|X_1=k)}\)
Możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ E(S_2|X_1=k)=\frac{1}{10}\cdot 1+...+\frac{1}{10}\cdot(k-1)+\frac{1}{10}\cdot 0+\frac{1}{10}\cdot (k+1)+...+\frac{1}{10}\cdot 10}\)
a to jest równe:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\cdot 1+...+ \frac{1}{10}\cdot 10 - \frac{k}{10}=5,5-\frac{k}{10}.}\)
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\sum_{k=1}^{10}5,5-\frac{k}{10}=\frac{1}{10}\left( 55-\sum_{k=1}^{10}\frac{k}{10} \right) = \frac{1}{10}\left( 55-5,5\right)=\frac{1}{10}\cdot 49,5=4,95}\)
Podsumowując:

\(\displaystyle{ E(S_2)=4,95}\)

Jedziemy dalej, tu zrobi się ciekawiej:

\(\displaystyle{ E(S_3)=\sum_{k=1}^{10}\sum_{l=1}^{10}E(S_3|X_1=k,X_2=l)P(X_1=k,X_2=l)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ P(X_1=k,X_2=l)=\frac{1}{100}}\)
Rozbijamy na dwa przypadki: \(\displaystyle{ k=l}\) oraz \(\displaystyle{ k\neq l}\).

1. \(\displaystyle{ k=l}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10}\sum_{l=k}E(S_3|X_1=k,X_2=l)=\sum_{k=1}^{10}E(S_3|X_1=k,X_2=k)=...}\)
[niczym się to nie różni od tego, co powyżej, tyle że nie mamy 1/10 przed znakiem sumy]
\(\displaystyle{ ...=49,5}\)

2. \(\displaystyle{ k\neq l}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10}\sum_{l \neq k}E(S_3|X_1=k,X_2=l)=?}\)
Przekształćmy to, co sumujemy:
\(\displaystyle{ E(S_3|X_1=k,X_2=l)=\frac{1}{10}\cdot 1+...+\frac{1}{10}\cdot 10-\frac{k}{10}-\frac{l}{10}=5,5-\frac{k}{10}-\frac{l}{10}}\)
Teraz wrzucamy pod sumę i liczymy (w sumie z indeksem \(\displaystyle{ l}\) mamy 9 składników):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10}\sum_{l \neq k}5,5-\frac{k}{10}-\frac{l}{10}=\sum_{k=1}^{10}9\cdot 5,5 - \frac{9}{10}k - 5,5 + \frac{k}{10}=...}\)
Powyżej sumę \(\displaystyle{ \sum_{l \neq k}\frac{l}{10}}\) zapisaliśmy jako \(\displaystyle{ \left[\sum_{l=1}^{10}\frac{l}{10}\right]-\frac{k}{10}=5,5-\frac{k}{10}}\)
\(\displaystyle{ ...=\sum_{k=1}^{10}44-\frac{8}{10}k=440-8\sum_{k=1}^{10}\frac{k}{10}=440-8\cdot 5,5 = 440 - 44 = 396}\)

Sumujemy wyniki z obu przypadków, mnożymy razy \(\displaystyle{ \frac{1}{100}}\) (patrz wyjściowy wzór) i dochodzimy do wyniku:

\(\displaystyle{ E(S_3)=\frac{1}{100}\left( 49,5+396 \right)=0,495+3,96=4,455}\)

Pozostało już tylko:
\(\displaystyle{ E(S_4)=\sum_{k=1}^{10} \sum_{l=1}^{10} \sum_{m=1}^{10} E(S_4|X_1=k,X_2=l,X_3=m)\cdot P(X_1=k,X_2=l,X_3=m)}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ P(X_1=k,X_2=l,X_3=m)=\frac{1}{1000}}\)

Rozdzielamy na przypadki:
1. \(\displaystyle{ k=l=m}\)
2. \(\displaystyle{ k=l}\), \(\displaystyle{ m\neq k}\)
3. \(\displaystyle{ k=m}\), \(\displaystyle{ l \neq k}\)
4. \(\displaystyle{ l=m}\), \(\displaystyle{ k \neq l}\)
5. \(\displaystyle{ k\neq l}\), \(\displaystyle{ l\neq m}\), \(\displaystyle{ k \neq m}\)

1. \(\displaystyle{ E(S_4|X_1=X_2=X_3=k)=5,5-\frac{k}{10}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10} \sum_{l=k} \sum_{m=k} E(S_4|X_1=k,X_2=l,X_3=m)=\sum_{k=1}^{10}E(S_4|X_1=k,X_2=k,X_3=k)=\sum_{k=1}^{10}5,5-\frac{k}{10}=49,5}\)

2. \(\displaystyle{ k=l}\), \(\displaystyle{ m\neq k}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10} \sum_{l=k} \sum_{m\neq k} E(S_4|X_1=k,X_2=l,X_3=m)=\sum_{k=1}^{10}\sum_{m\neq k} E(S_4|X_1=k,X_2=k,X_3=m)=...}\)
[patrz pkt. 2 dla \(\displaystyle{ S_3}\) powyżej]
\(\displaystyle{ ...=396}\)

3. Jak wyżej
4. Jak wyżej

5. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10}\sum_{l\neq k}\sum_{m\neq k, m\neq l}E(S_4|X_1=k,X_2=l,X_3=m)=
\sum_{k=1}^{10}\sum_{l\neq k}\sum_{m\neq k, m\neq l}\frac{1}{10}\cdot 1+...+\frac{1}{10}\cdot 10 - \frac{k}{10}- \frac{l}{10}- \frac{m}{10}=...}\)
[w sumie z indeksem \(\displaystyle{ m}\) mamy 8 składników]
\(\displaystyle{ ...=\sum_{k=1}^{10}\sum_{l\neq k}5,5\cdot 8 - \frac{8}{10}k-\frac{8}{10}l-5,5+\frac{k}{10}+\frac{l}{10}=...}\)
[powyżej analogiczne przekształcenie, jak wcześniej]
\(\displaystyle{ ...=\sum_{k=1}^{10}\sum_{l\neq k}38,5- \frac{7}{10}k-\frac{7}{10}l=...}\)
[w sumie z indeksem \(\displaystyle{ l}\) mamy 9 składników]
\(\displaystyle{ ...=\sum_{k=1}^{10}38,5\cdot 9 - \frac{63}{10}k-7\cdot 5,5 +\frac{7}{10}k=...}\)
[powyżej powtórka z rozrywki w "zwijaniu" sumy]
\(\displaystyle{ ...=\sum_{k=1}^{10}346,5-\frac{56}{10}k-38,5 = \sum_{k=1}^{10}308-\frac{56}{10}k=3080-56\cdot 5,5 = 3080-308 = 2772}\)

Sumując wyniki z poszczególnych przypadków i mnożąc razy \(\displaystyle{ \frac{1}{1000}}\) (patrz wyjściowy wzór) otrzymamy:
\(\displaystyle{ E(S_4)=\frac{1}{1000}\cdot \left( 49,5+3\cdot 396+2772 \right)=\frac{1}{1000}\cdot 3613,5=4,0095}\)


**************
Ostateczny wynik:
**************
\(\displaystyle{ E(S)=5,5+4,95+4,455+4,0095=18,9145}\)


To na koniec jeszcze zapytam: skąd to zadanie???

[leg14]

Niech \(\displaystyle{ Z}\) "robi " to samo, co S, ale nie odrzuca powatarzających się liczb.
Patrzymy na różnicę \(\displaystyle{ X = Z -S}\). Wystarczy policzyć jej wartość oczekiwaną.
Np. \(\displaystyle{ \PP(X =4) = \frac{{9 \choose 2} \cdot \frac{4!}{2!}}{10^4} + \frac{ {9 \choose 2} \cdot \frac{4!}{3!} }{10^4} + C}\)

Pierwsza część odpowiada sytuacji,gdy wyloswaliśmy dokładnie dwa razy czwórkę. Druga część odpowiada sytuacji, gdy wylosowaliśmy dokładnie 3 razy dwójkę. \(\displaystyle{ C}\) oznacza podobne wyrażenie dal sytuacji, gdy wylosowaliśmy dokładnie dwa razy 3 i dokładnie dwa razy 1.

[tomwanderer]

leg14, dla mnie wygląda na to, że przy takim sposobie, w praktyce bylibyśmy zmuszeni do policzenia "na piechotę" wszystkich wyrażeń \(\displaystyle{ P(X=k)}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,30}\). Na przykład dla \(\displaystyle{ k=6}\) otrzymalibyśmy składniki związane z:
1. czterokrotnym wypadnięciem dwójki,
2. trzykrotnym wypadnięciem trójki,
3. dwukrotnym wypadnięciem obu liczb z par: \(\displaystyle{ (1,5),(2,4)}\) (ogólnie takich par będzie \(\displaystyle{ \lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}\))
4. dwukrotnym wypadnięciem szóstki

Z kolei dla liczb niepodzielnych przez 3 składnik z pkt. 1 wynosi 0, podobnie składnik z pkt. 2 dla liczb nieparzystych, pkt. 4 tylko dla \(\displaystyle{ k \le 10}\) będzie niezerowy... Ja przynajmniej nie widzę sposobu na zwinięcie \(\displaystyle{ P(X=k)}\) do jednego "ładnego" wzoru.

[cwaniaczek5]

Zadanie jest z tego zbioru ... _zbior.pdf (25str. 2.14) Wiem, że wynik to 18,9145

[tomwanderer]

Zadanie jest z tego zbioru ... _zbior.pdf (25str. 2.14) Wiem, że wynik to 18,9145

Ok, czyli wyszło mi za mało o \(\displaystyle{ 0,396}\). To oznacza, że mam głupi błąd w liczeniu \(\displaystyle{ E(S_4)}\) tym miejscu:

Rozdzielamy na przypadki:
1. \(\displaystyle{ k=l=m}\)
2. \(\displaystyle{ k=l}\), \(\displaystyle{ m\neq k}\)
3. \(\displaystyle{ k=m}\), \(\displaystyle{ l \neq k}\)
4. \(\displaystyle{ k\neq l \neq m}\)

Powinno być:
1. \(\displaystyle{ k=l=m}\)
2. \(\displaystyle{ k=l}\), \(\displaystyle{ m\neq k}\)
3. \(\displaystyle{ k=m}\), \(\displaystyle{ l \neq k}\)
4. \(\displaystyle{ l=m}\), \(\displaystyle{ k \neq l}\)
5. \(\displaystyle{ k\neq l \neq m}\)

A stąd:
\(\displaystyle{ E(S_4)=E(S_4)=\frac{1}{1000}\cdot \left( 49,5+3\cdot 396+2772 \right)=\frac{1}{1000}\cdot 3613,5=4,0095}\)

oraz:

\(\displaystyle{ E(S)=5,5+4,95+4,455+4,0095=18,9145}\)

Poprawię w oryginalnym poście, żeby ktoś inny nie został wprowadzony w błąd.

[Jan Kraszewski]

Powinno być:
5. \(\displaystyle{ k\neq l \neq m}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ k\ne l, l\ne m, m\ne k}\). Różność nie jest przechodnia.

JK

[tomwanderer]

Powinno być:
5. \(\displaystyle{ k\neq l \neq m}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ k\ne l, l\ne m, m\ne k}\). Różność nie jest przechodnia.

JK

Faktycznie. Dziękuję, będę pamiętał żeby tak nie pisać.