zmienna losowa, suma, roz wykł

[zajaczek1234]

Pomocy
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym. Udowodnić, że zmienna losowa \(\displaystyle{ (X+Y)}\) ma rozkład gamma.

[Benny01]

Możesz np. wyznaczyć dystrybuantę licząc splot.

[Premislav]

To jest nieprawda na przykład wtedy, gdy zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\), zaś zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 2}\).

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_charakterystyczna_%28teoria_prawdopodobie%C5%84stwa%29

dla zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathrm{Exp}(\lambda)}\)
jest równa \(\displaystyle{ \frac{\lambda}{\lambda-it}}\). Ponadto funkcja charakterystyczna sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to iloczyn ich funkcji charakterystycznych. Niech zatem niezależne \(\displaystyle{ X, Y}\) spełniają
\(\displaystyle{ X\sim \mathrm{Exp}(1), \ Y\sim \mathrm{Exp}(2)}\).
Wówczas funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ X+Y}\) ma postać
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-it} \cdot \frac{2}{2-it} =\frac{2}{2-t^2-3it}=\frac{1}{1-\frac{t^2}{2}-\frac 3 2 it}}\)
Natomiast funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie
Gamma z parametrami \(\displaystyle{ \alpha, \ \beta}\) jest równa \(\displaystyle{ \left( 1-\frac{it}{\beta}\right)^{-\alpha}}\) bądź, jak ktoś woli trochę inną parametryzację,
\(\displaystyle{ \left( 1-it\beta\right)^{-\alpha}}\)

Gdyby \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\frac{t^2}{2}-\frac 3 2 it}}\) dało się przedstawić w tej formie, to musiałoby być \(\displaystyle{ \alpha=2}\), czyli
\(\displaystyle{ \left(1-\beta it \right)^2 =1-\frac{t^2}{2}-\frac 3 2 it}\)
ale to jest sprzeczność, co widać po podniesieniu do kwadratu i przyrównaniu współczynników.

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) powinny mieć ten sam parametr \(\displaystyle{ \lambda>0}\) i wówczas to już jest prawda.

[zajaczek1234]

Mój błąd... Zmienne mają ten sam parametr.

-- 9 cze 2018, o 14:10 --

Jak to wykazać?-- 9 cze 2018, o 14:14 --Powinnam wykazać to za pomocą splotu gęstości ale nie wiem jak ☹

[Premislav]

Już chyba kiedyś pisałem rozwiązanie tego zadania, ale nie mogę znaleźć w wyszukiwarce.

Jest taki ogólny i przydatny fakt: gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym to splot ich gęstości. W tym przypadku dostajemy taką oto całkę:
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\lambda e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\lambda e^{-\lambda (x-y)} \,\dd y=\\=\lambda^2e^{-\lambda x} \int_{\RR}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\,\dd y}\)
Ten iloczyn indykatorów równy jest \(\displaystyle{ 1}\), gdy oba indykatory wynoszą \(\displaystyle{ 1}\) i zero w przeciwnym razie. Kiedy jest równy \(\displaystyle{ 1}\)? Kiedy \(\displaystyle{ 0<y<x}\).
W szczególności by była to prawda, musi być \(\displaystyle{ x>0}\), możemy więc zapisać
\(\displaystyle{ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)=\\=1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \lambda^2e^{-\lambda x} \int_{\RR}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\,\dd y=\\=\lambda^2e^{-\lambda x} \int_{\RR}^{}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x) \cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\cdot 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\,\dd y=\\=\lambda^2e^{-\lambda x}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x) \int_{0}^{x} 1\,\dd y=\lambda^2 xe^{-\lambda x}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}\)

Jest to gęstość rozkładu prawdopodobieństwa Gamma z parametrami \(\displaystyle{ 2, \ \lambda}\) (albo \(\displaystyle{ 2, \ \frac{1}{\lambda}}\) w zależności od parametryzacji).