Rozkład normalny, suma

[zajaczek1234]

Cześć.
Czy mógłby mi ktoś zrobić od początku do końca takie zadanie?
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie normalnym. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\).

[Premislav]

Funkcja tworząca momenty zmiennej losowej o rozkładzie \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\) (gdzie \(\displaystyle{ \sigma>0}\)) ma postać \(\displaystyle{ M(t)=e^{\mu t+ \frac{\sigma^2t^2}{2} }}\). Ponadto funkcja tworząca momenty sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych (mających funkcje tworzące momenty) to iloczyn ich funkcji tworzących momenty.
Niech więc niezależne \(\displaystyle{ X, Y}\) będą takie, że \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2}, \ Y\sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)}\). Wówczas \(\displaystyle{ X}\) ma funkcję tworzącą momenty równą \(\displaystyle{ M_X(t)=e^{\mu_1 t+\frac{\sigma_1^2t^2}{2}}}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma funkcję tworzącą momenty \(\displaystyle{ M_Y(t)=e^{\mu_2 t+\frac{\sigma_2^2t^2}{2}}}\), a więc z niezależności funkcja tworząca momenty \(\displaystyle{ X+Y}\) wynosi \(\displaystyle{ e^{(\mu_1+\mu_2)t+\frac{t^2}{2}\left( \sigma_1^2+\sigma_2^2\right) }}\).
A to z kolei jest funkcja tworząca momenty dla zmiennej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}\left( \mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}\).
Drugi parametr to wszędzie u mnie wariancja.-- 8 cze 2018, o 21:23 --Można to również przeliczyć za pomocą funkcji charakterystycznych, splotu lub (ale to ostatnie to trochę strzał z bazooki do komara) wielowymiarowego rozkładu normalnego i jego własności.