Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa

[marciap_132308]

Mam problem z tymi zadaniami, nie wiem jak zacząć, proszę o pomoc.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odc. \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right]}\). Znaleźć rozkłady zmiennych losowych \(\displaystyle{ Y=\min (X,X^2)}\) i \(\displaystyle{ Z=\max (1,X)}\)

[tomwanderer]

Zajmijmy się wyznaczeniem dystrybuant rozkładów w obu przypadkach.

\(\displaystyle{ Z=\max (1,X)}\)
Po pierwsze zauważmy, że \(\displaystyle{ P(1 \le Z \le 2)=1}\). Ponadto \(\displaystyle{ P(Z=1)=P(X\le 1)=\frac{1}{2}}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ x\in (1,2]}\) mamy:
\(\displaystyle{ F_Z(x)=P(Z\le x)=P(Z=1)+P(Z\in(1,x])=P(X\le 1)+P(X\in(1,x])=F_X(x)}\)


\(\displaystyle{ Y=\min(X,X^2)}\)
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ Y= \begin{cases} X^2, \quad X\in[0,1] \\ X, \quad X\in(1,2] \end{cases}}\)
Stąd dla \(\displaystyle{ x\in[0,1]}\):
\(\displaystyle{ F_Y(x)=P(Y\le x)=P(X^2\le x)=P(X\le \sqrt{x})=F_X(\sqrt{x})}\),
natomiast dla \(\displaystyle{ x\in (1,2]}\):
\(\displaystyle{ F_Y(x)=P(Y\le x)=P(Y\le 1) + P(Y\in(1,x])=P(X\le 1)+P(X\in (1,x])=F_X(x).}\)

Pozostawię to w takiej formie, aby i dla ciebie coś zostało