Rozkład normalny niewiadome odchylenie standardowe

[WoWombat]

Czas jednej analizy (w s ) na zawartość krzemu jest zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(5,\sigma)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ \sigma}\) jeżeli \(\displaystyle{ P(|X-5|>1) = 0,05}\). Obliczyć prawdopodobieństwo że czas analizy będzie dłuższy niż 6s.

[janusz47]

a)

\(\displaystyle{ Pr(|X-5|>1) = 0.05}\)

\(\displaystyle{ Pr(|X- 5|\leq 1) =1 - Pr(|X-5|>1) = 1 - 0.05 = 0.95.}\)

\(\displaystyle{ Pr( -1 \leq X-5| \leq 1 ) = 0.95}\)

\(\displaystyle{ Pr\left(\frac{-1}{\sigma} \leq \frac{X -5}{\sigma}\leq \frac{1}{\sigma} \right) = 0.95}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) - \phi\left(-\frac{1}{\sigma}\right) = 2\phi\left(\frac{1} {\sigma}\right) -1 = 0.95.}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{1}{\sigma}\right)= 0.975.}\)

\(\displaystyle{ \phi\left(\frac{1}{\sigma}\right) \approx \phi\left(1.96)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma} \approx 1,96}\)

\(\displaystyle{ \sigma \approx 0.5 s.}\)

b)

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}( 5, 0.5)}\)

\(\displaystyle{ Pr (X > 6 s) = 1 - Pr( X\leq 6s) = 1 - Pr \left(Z \leq \frac{6-5}{0.5}\right) = 1 - \phi(2) \approx 1 - 0.98 = \\ = 0.02.}\)

[WoWombat]

Dlaczego w podpunkcie a) jest napisane
\(\displaystyle{ Pr(|X- 5|\leq 0.05) =1 - Pr(|X-5|>1) = 1 - 0.05 = 0.95.}\)?

nie powinno być zapisane \(\displaystyle{ Pr(|X- 5|\leq 1) =...}\)?

[janusz47]

Powinno być , bo zdarzenia

\(\displaystyle{ \{ |X -5 |\leq 1 \} , \ \ \{ |X -5 | >1 \}.}\) są zdarzeniami przeciwnymi.

[WoWombat]

Teraz wszystko jasne, dziękuje za pomoc