Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Na podstawie pewnych badań stwierdzono że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) opisująca procent zanieczyszczeń w próbce miedzi ma następujący rozkład:

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 &\mbox{dla } x \le 0 \\ x ^{3}(4-3x) &\mbox{dla } 0<x \le 1 \\ 1 &\mbox{dla }x>1 \end{cases}}\)

Wybrano cztery niezależne próbki. Wyznacz prawd że co najmniej jedna zawiera ponad \(\displaystyle{ 50\%}\)zanieczyszczeń.
Nie wiem jak się za to zabrać, zakładam że należy wyznaczyć dla każdej po kolei i je zsumować jednak nie wiem gdzie podstawić to \(\displaystyle{ 50\%}\). Czy jest to prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ > x^{3}(4-3x)}\)?
Proszę o pare wskazówek lub rozpisanie tego, byłbym wtedy w stanie to przeanalizować i zrozumieć problem. Bardzo dziękuję.
Ostatnio zmieniony 6 cze 2018, o 11:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
tomwanderer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: obecnie Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 45 razy

Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: tomwanderer »

Po pierwsze:

\(\displaystyle{ P(}\) co najmniej jedna próbka zawiera ponad 50% zanieczyszczeń \(\displaystyle{ ) = 1 - P(}\) każda próbka zawiera co najwyżej 50% zanieczyszczeń \(\displaystyle{ )}\).

Teraz matematycznie:

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2,X_3,X_4}\) będą procentowymi wartościami zanieczyszczeń w kolejnych próbkach. Przy takim oznaczeniu mamy do policzenia:

\(\displaystyle{ 1 - P (X_1 \leq 0,5 \wedge X_2 \leq 0,5 \wedge X_3 \leq 0,5 \wedge X_1 \leq 0,5)}\)

Skoro próbki są niezależne, to powyższe możemy zapisać jako:

\(\displaystyle{ 1-P(X_1 \leq 0,5)\cdot P(X_2 \leq 0,5) \cdot P(X_3 \leq 0,5)\cdot P(X_4 \leq 0,5)}\)

Jedyne, co pozostaje, to skorzystać z definicji dystrybuanty oraz ze wzoru podanego w treści zadania Dasz radę?
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: Wolff »

No właśnie w dystrybuancie wzór jest określony dla \(\displaystyle{ 0<x \le 1}\) więc nie rozumiem jak go podstawić gdy potrzebuję przedziału \(\displaystyle{ X \le 0.5}\) W treści był podany jakiś wzór? :O
tomwanderer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: obecnie Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 45 razy

Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: tomwanderer »

Wstawiając konkretną wartość \(\displaystyle{ x}\) do wzoru otrzymasz wartość dystrybuanty w punkcie \(\displaystyle{ x}\). W tym konkretnym przypadku podstawiasz \(\displaystyle{ x=0,5}\).
Wolff
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 4 cze 2018, o 21:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 8 razy

Re: Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: Wolff »

Czyli będzie to \(\displaystyle{ 1 - \left( \frac{5}{16} \right) ^{4}}\) ?-- 6 cze 2018, o 13:21 --Po chwili główkowania doszedłem do takiego rozwiązania:
\(\displaystyle{ P(X>0.5) = 1 - P(X<0.5) = 1 - 1/8(4-3/2) = 1 - 20/64 = 44/64}\) to jest prawd że próbka ma ponad 50% zanieczyszczeń
\(\displaystyle{ Y}\) to liczba próbek zawierających ponad 50%
\(\displaystyle{ Y ~Bin(4, 44/64)
p(k) = P(Y=k) = {4 \choose k} (40/64)^{k} (20/64)^{4-k}
P(Y \ge 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - {4 \choose 0} (44/64)^{0} (20/64)^{4}}\)

Dzięki za pomoc!
Ostatnio zmieniony 6 cze 2018, o 13:16 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
tomwanderer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 28 maja 2016, o 11:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: obecnie Łódź
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 45 razy

Re: Wyznaczanie prawd. na podstawie dystrybuanty

Post autor: tomwanderer »

Wolff pisze:Czyli będzie to \(\displaystyle{ 1 - \left( \frac{5}{16} \right) ^{4}}\) ?

-- 6 cze 2018, o 13:21 --

Po chwili główkowania doszedłem do takiego rozwiązania:
\(\displaystyle{ P(X>0.5) = 1 - P(X<0.5) = 1 - 1/8(4-3/2) = 1 - 20/64 = 44/64}\) to jest prawd że próbka ma ponad 50% zanieczyszczeń
\(\displaystyle{ Y}\) to liczba próbek zawierających ponad 50%
\(\displaystyle{ Y ~Bin(4, 44/64)}\)
\(\displaystyle{ p(k) = P(Y=k) = {4 \choose k} (40/64)^{k} (20/64)^{4-k}\\
P(Y \ge 1) = 1 - P(Y=0) = 1 - {4 \choose 0} (44/64)^{0} (20/64)^{4}}\)

Dzięki za pomoc!
Oba rozwiązania są poprawne Zauważ, że w tym, co dopisałeś, wynik jaki wyszedł jest dokładnie taki sam, jak na górze Twojego posta.

Uważaj tylko z nierównościami (czy piszesz słabą czy ostrą nierówność) no i w trybie matematycznym przejście do nowej linijki odbywa się poprzez wpisanie "\" - klawisz Enter jest ignorowany.
ODPOWIEDZ