Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta

[Wolff]

Rzucamy kostą sześcienną tak długo aż wypadnie \(\displaystyle{ 6}\). Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznacza numer rzutu w którym \(\displaystyle{ 6}\) pojawi się po raz pierwszy. Wyznaczyć rozkład prawd. oraz dystrybuante \(\displaystyle{ X}\).
Obliczyć
a) \(\displaystyle{ P(X \ge 10)}\)
b) \(\displaystyle{ P(X \le 10)}\)
Z góry dziękuję za pomoc i wyjaśnienie.

[tomwanderer]

Wyznaczenie rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) sprowadza się do wyznaczenia wartości:

\(\displaystyle{ P(X=1)}\),
\(\displaystyle{ P(X=2)}\),
\(\displaystyle{ P(X=3)}\),
itd. - zgoda?

Wartość \(\displaystyle{ P(X=k)}\) to prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w pierwszych \(\displaystyle{ k-1}\) rzutach nie było szóstki, a w \(\displaystyle{ k}\)-tym rzucie wypadła szóstka.
Dobrze będzie wprowadzić nowe zmienne, oznaczające wyniki poszczególnych rzutów. Powiedzmy, że \(\displaystyle{ X_n}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\), jeżeli w \(\displaystyle{ n-}\)tym rzucie nie wypadła szóstka oraz wartość \(\displaystyle{ 1}\), jeżeli w \(\displaystyle{ n-}\)tym rzucie wypadła szóstka.

Co możemy wtedy zapisać? Na przykład to:

\(\displaystyle{ P(X=k)=P(X_1=0 \wedge X_2=0 \wedge ... \wedge X_{k-1}=0 \wedge X_k=1)}\),

dalej korzystając z tego, że wyniki kolejnych rzutów są od siebie niezależne:

\(\displaystyle{ P(X=k)=P(X_1=0)\cdot P(X_2=0) \cdot ... \cdot P(X_{k-1}=0)\cdot P(X_k=1)}\)

Myślę, że poradzisz sobie z policzeniem do końca (skorzystaj z definicji zmiennych \(\displaystyle{ X_n}\) którą sobie wprowadziliśmy).

Natomiast wyznaczenie dystrybuanty to wyznaczenie wartości:
\(\displaystyle{ P(X \leq 1)}\),
\(\displaystyle{ P(X \leq 2)}\),
\(\displaystyle{ P(X \leq 3)}\),
itd.
Tutaj warto skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ P(X \leq k) = 1 - P(X>k)}\). (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego - na pewno kojarzysz)
Czy będziesz teraz wiedział, jak zapisać zdarzenie \(\displaystyle{ X>k}\) używając zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_n}\)? [Innymi słowy, jak zapisać fakt, że w pierwszych \(\displaystyle{ k}\) rzutach nie było szóstki, korzystając ze zmiennych \(\displaystyle{ X_n}\)?]

Jak już będziesz miał dystrybuantę, to poradzisz sobie z a) i b).

[Wolff]

Dziękuję bardzo za Twoje rozpisanie i pomoc, niestety jeżeli nie ma konkretnych liczb jestem całkiem zagubiony z prawdopodobieństwem. Nie potrafię sobie tego logicznie ułożyć gdy ciąg jest nieskończony (ponieważ 6 może wypaść na którymkolwiek rzucie). Jeżeli byłbyś w stanie napisać rozkład oraz dystrybuantę to może załapałbym jak użyć wzorów do takich zadań w przyszłości. Dzięki wielkie.

[tomwanderer]

Ok, rozumiem Zatem spełniając Twoją prośbę:

Rozkładem prawdopodobieństwa będzie pewna funkcja \(\displaystyle{ f}\), która w punkcie \(\displaystyle{ k}\) osiąga wartość równą prawdopodobieństwu zdarzenia \(\displaystyle{ X=k}\) (tj. zdarzenia polegającego na tym, że pierwsza szóstka wypadła w \(\displaystyle{ k-}\)tym rzucie).

Innymi słowy rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) to pewien wzór, który opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) poszczególnych wartości.
W tym konkretnym przypadku zajmujemy się tylko wartościami \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) ponieważ numer rzutu, w którym wypadła pierwsza szóstka (w sytuacji, gdy rzucamy aż do skutku) musi być naturalną liczbą dodatnią. W pozostałych punktach wartość funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\).

Zobaczmy jak wyglądają wartości rozkładu dla kilku pierwszych wartości \(\displaystyle{ k}\):

***********
\(\displaystyle{ k=1}\)
***********
Prawdopodobieństwo, że pierwsza szóstka wypadła w pierwszym rzucie wynosi \(\displaystyle{ 1/6}\) bo mamy \(\displaystyle{ 6}\) możliwych wyników i każdy jest tak samo prawdopodobny.
Zapiszmy więc:
\(\displaystyle{ f(1)=P(X=1)=1/6}\).

***********
\(\displaystyle{ k=2}\)
***********
Aby pierwsza szóstka wypadła w drugim rzucie, najpierw w pierwszym rzucie musi wypaść coś innego. To "wypadnięcie czegoś innego" w pierwszym rzucie nastąpi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 5/6}\). Następnie w drugim rzucie szóstka wypadnie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1/6}\).
Chcemy wyznaczyć wartość:
\(\displaystyle{ P(\mbox{ wypadnięcie czegoś innego niż }6\mbox{ w pierwszym rzucie, a następnie wypadnięcie }6\mbox{ w drugim rzucie})}\)
Mamy więc coś w tym stylu:
\(\displaystyle{ P(\mbox{ zdarzenie 1 oraz zdarzenie 2})=?}\)
Ponieważ te zdarzenia, są niezależne (mówiąc potocznie, wynik jednego ze zdarzeń nie wpływa na wynik drugiego), aby otrzymać to prawdopodobieństwo, mnożymy prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(\mbox{ wypadnięcie czegoś innego niż }6\mbox{ w pierwszym rzucie, a następnie wypadnięcie }6\mbox{ w drugim rzucie})=P(\mbox{ wypadnięcie czegoś innego niż }6\mbox{ w pierwszym rzucie}) \cdot P(\mbox{ wypadnięcie }6\mbox{ w drugim rzucie}) = (5/6) \cdot (1/6)}\)
[Celowo zostawiam w takiej postaci, bo nie chcemy wyliczać konkretnych wartości, tylko znaleźć ogólny wzór.]

Możemy więc odnotować:
\(\displaystyle{ f(2) = P(X=2)=\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}}\).

Przy okazji, warto wprowadzić pewne oznaczenia dla przejrzystości zapisu:
Niech \(\displaystyle{ X_n=1}\) jeżeli w \(\displaystyle{ n-}\)tym rzucie wypadła szóstka oraz \(\displaystyle{ X_n=0}\) jeżeli wypadło coś innego. Dzięki temu to, co liczyliśmy powyżej, możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ P(X_1=0)\cdot P(X_2=1)}\).

Przejdźmy dalej:

***********
\(\displaystyle{ k=3}\)
***********
Aby pierwsza szóstka wypadła w trzecim rzucie, w dwóch pierwszych rzutach musi wypaść coś innego, a w trzecim rzucie musi wypaść szóstka. Stosując wprowadzone oznaczenia, musi zajść każde z poniższych:
\(\displaystyle{ X_1=0}\), \(\displaystyle{ X_2=0}\), \(\displaystyle{ X_3=1}\).
Chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P(X_1=0 \mbox{ oraz } X_2=0 \mbox { oraz } X_3=1)}\).
Ponownie korzystając z niezależności zdarzeń (będziemy z tego korzystać do końca zadania) zapiszemy to jako iloczyn:
\(\displaystyle{ P(X_1=0)\cdot P(X_2=0) \cdot P(X_3=1).}\)

A stąd prosty wniosek:

\(\displaystyle{ f(3)=P(X=3)=\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}.}\)

Myślę, że jesteśmy gotowi do napisania ogólnego wzoru:

***********
\(\displaystyle{ k}\) dowolne (z zastrzeżeniem, że naturalne dodatnie):
***********
Aby pierwsza szóstka wypadła w \(\displaystyle{ k-}\)tym rzucie, w każdym z pierwszych \(\displaystyle{ k-1}\) rzutów musi wypaść coś innego, a następnie w \(\displaystyle{ k-}\)tym rzucie musi wypaść szóstka. Mam nadzieję, że poniższe przeliczenie jest w tym momencie jasne:

\(\displaystyle{ f(k)=P(X=k)=P(X_1=0)\cdot P(X_2=0)\cdot ... \cdot P(X_{k-1}=0) \cdot P(X_k=1) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot \frac{1}{6}}\)

Podsumowując, rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) to funkcja zadana wzorem (dla odpowiednich \(\displaystyle{ k}\)):
\(\displaystyle{ f(k)=\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\cdot \frac{1}{6}}\)

Możemy przejść do dystrybuanty.

Dystrybuanta zmiennej losowej to funkcja \(\displaystyle{ F}\) zdefiniowana wzorem: \(\displaystyle{ F(t)=P(X \leq t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).

Czy dasz teraz radę wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ P(X\leq k)}\) korzystając z poniższych wzorów?

\(\displaystyle{ P(X\leq k) = 1 - P(X>k)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ P(X>k)=P(X_1=0)\cdot P(X_2=0) \cdot ... \cdot P(X_k=0)}\)
(gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest dodatnią liczbą naturalną)

Dla jasności - zdarzenie \(\displaystyle{ X>k}\) oznacza, że pierwsza szóstka wypadła po \(\displaystyle{ k-}\)tym rzucie, czyli w pierwszych \(\displaystyle{ k\(\displaystyle{ rzutach nie było szóstki.}\)}\)

[Wolff]

Niesamowicie, bardzo bardzo bardzo dziękuję! Najlepsze wyjaśnienie o jakie mogłem prosić!

-- 5 cze 2018, o 22:27 --

To tylko dla rozwiania wątpliwości:
\(\displaystyle{ P(X \le 10) = 1 - \frac{5}{6} ^{10}\\
P(X \ge 10) = \frac{5}{6} ^{9}}\)
Do potęgi \(\displaystyle{ 9}\) ponieważ jest to większe i włącznie \(\displaystyle{ 10}\) to wydaje mi się że jak zrobimy
\(\displaystyle{ 1-(1-P(X \le 10))}\) to wtedy wyjdzie bez \(\displaystyle{ 10}\)?

[tomwanderer]

Świetnie - wyniki które podałeś są dobre. Jedynie mogę mieć zastrzeżenie do tego fragmentu:

wydaje mi się że jak zrobimy
\(\displaystyle{ 1-(1-P(X \le 10))}\) to wtedy wyjdzie bez \(\displaystyle{ 10}\)?

bo powinno być:
\(\displaystyle{ 1-(1-P(X < 10))}\), a to jest to samo, co:

\(\displaystyle{ 1-(1-P(X \leq 9))}\)

Niemniej jednak, Twój tok rozumowania jest poprawny.

To tak jeszcze na marginesie, warto abyś dodatkowo zastanowił się (chyba że już doskonale wiesz, jak to się robi), jak w tym zadaniu obliczyć coś takiego:
\(\displaystyle{ P(a \leq X \leq b)=?}\)
ewentualnie możesz wstawić jakieś konkretne wartości.

Jakbyś potrzebował, to spójrz na małą podpowiedź:

Ukryta treść:    

Zastanów się, w jaki sposób mógłbyś wykorzystać wartości dystrybuanty w punktach \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ a-1}\).

[Wolff]

Nie jestem pewien co do użycia wart. dystrybuanty w pkt \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ a-1}\), ale wydaje mi się że \(\displaystyle{ P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X<a)}\), przynajmniej takie wnioski wyciągnąłem z narysowania tego w postaci przedziałów. Czy jest to dobre rozumowanie?

[tomwanderer]

Nie jestem pewien co do użycia wart. dystrybuanty w pkt \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ a-1}\), ale wydaje mi się że \(\displaystyle{ P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X<a)}\), przynajmniej takie wnioski wyciągnąłem z narysowania tego w postaci przedziałów. Czy jest to dobre rozumowanie?

Dokładnie tak. Teraz pozostaje jeszcze przekształcić \(\displaystyle{ P(X<a)}\) na równoważną postać (tak jak powyżej zrobiliśmy z \(\displaystyle{ P(X<10)}\) i zastosować definicję dystrybuanty

Odpowiedź:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X\le a-1)=F(b)-F(a-1) = 1-\left(\frac{5}{6}\right)^b - \left[1-\left( \frac{5}{6}\right)^{a-1}\right]=\left( \frac{5}{6}\right)^{a-1}-\left(\frac{5}{6}\right)^b}\)

Alternatywna metoda to zsumowanie prawdopodobieństw: \(\displaystyle{ P(X=a)+P(X=a+1)+...+P(X=b)}\), ale m.in. po to używa się dystrybuanty, aby w takich przykładach liczyło się znacznie prościej