Rozkład ujemny dwumianowy, zmienne niezależne

[zajaczek1234]

Pomocy!!!!!
Czy mógłby mi ktoś zrobić od początku do końca takie zadanie?
\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) - niezależne zmienne losowe o rozkładzie ujemnym dwumianowym. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X+Y}\).

[janusz47]

Twierdzenie

Założenie:

\(\displaystyle{ X \sim URD( r, p) , Y \sim URD( s, p)}\)

Teza:

\(\displaystyle{ X + Y = URD(r+s, p)}\)

Dowód 1:

Każda zmienna losowa o ujemnym rozkładzie dwumianowy może być przedstawiona jako suma - niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym, to znaczy

\(\displaystyle{ X \sim URD(r, p): X= X_{1}+ X_{2}+ ...+ X_{r}, \ \ X_{i} \sim Geom (p)}\)

\(\displaystyle{ Y \sim URD( s, p): Y = X_{r+1} + X_{r+2}+ ...+ X_{r+s}}\)

Stąd

\(\displaystyle{ X+ Y = X_{1}+ X_{2}+ ...+ X_{r}+X_{r+1} + X_{r+2}+ ...+ X_{r+s} \sim URD(r+s,p).}\)


Dowód 2 ( w oparciu o funkcje tworzące (generujące) momenty)

\(\displaystyle{ X \sim URD( r, p) , \ \ M_{X}= \left(\frac{ 1 - p}{1- pe^{t}}\right)^{r},}\)

\(\displaystyle{ Y \sim URD( s, p), \ \ M_{Y}= \left(\frac{ 1 - p}{1- pe^{t}}\right)^{s}}\) (proszę wykazać jedną z tych równości).

\(\displaystyle{ M_{X+Y} = M_{X}\cdot M_{Y} = \left(\frac{ 1 - p}{1- pe^{t}}\right)^{r}\cdot \left(\frac{ 1 - p}{1- pe^{t}}\right)^{s} = \left(\frac{1 -p}{1- pe^{t}}\right)^{r+s}}\)

Stąd wynika, że suma zmiennych losowych o ujemnym rozkładzie dwumianowym o parametrach odpowiednio \(\displaystyle{ (r, p)}\) i \(\displaystyle{ (s, p)}\) ma ujemny rozkład dwumianowy o parametrach \(\displaystyle{ ( r+s, p)}\)

\(\displaystyle{ X + Y \sim URD( r+s, p).}\)

Dowód 3 ( w oparciu o funkcję prawdopodobieństwa)

\(\displaystyle{ P( X = k) ={k+r-1\choose k}(1-p)^{r}\cdot p^{k}}\)

\(\displaystyle{ P( Y = k) ={k+s-1\choose k}(1-p)^{s}\cdot p^{k}}\)

\(\displaystyle{ P(X +Y = k) = ...}\)

[Premislav]

Niech więc niezależne \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkład ujemny dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ r>0, \ p\in(0,1)}\).
Jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={r+k-1\choose k}p^k(1-p)^r, \ k=0,1\ldots}\) i podobnie dla \(\displaystyle{ Y}\).
Niech \(\displaystyle{ m\in \NN}\). Mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=m)= \sum_{k=0}^{m}\mathbf{P}(X=k, \ Y=m-k)= \\=\sum_{k=0}^{m} \mathbf{P}(X=k)\mathbf{P}(Y=m-k)= \\=\sum_{k=0}^{m}{r+k-1\choose k}p^k(1-p)^r{r+m-k-1\choose m-k}p^{m-k}(1-p)^r=\\=p^m(1-p)^{2r} \sum_{k=0}^{m}{r+k-1 \choose k}{r+m-k-1 \choose m-k}}\)
i pozostaje udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}{r+k-1 \choose k}{r+m-k-1 \choose m-k}={2r+m-1 \choose m}}\).
W tym celu skorzystamy z tzw. negacji górnego indeksu:
\(\displaystyle{ (-1)^k{-r \choose k}={r+k-1\choose k}}\)
czyli
\(\displaystyle{ {r+k-1 \choose k}{r+m-k-1 \choose m-k}=(-1)^m {-r \choose k}{-r \choose m-k}}\)
i sumując to dla \(\displaystyle{ k=0,\ldots m}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}{r+k-1 \choose k}{r+m-k-1 \choose m-k}=(-1)^m \sum_{k=0}^{m} {-r \choose k}{-r \choose m-k}}\)
Teraz korzystając ze znanego faktu
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m}{a \choose k}{b \choose m-k}={a+b \choose m}}\)
(dla \(\displaystyle{ a,b\in \NN}\) można udowodnić interpretacją kombinatoryczną, a w ogólności to idzie z uogólnionego wzoru dwumianowego Newtona dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) i tożsamości\(\displaystyle{ (1+x)^a(1+x)^b=(1+x)^{a+b}}\), w której przyrównujemy współczynniki obu stron przy \(\displaystyle{ x^m}\)) mamy
\(\displaystyle{ (-1)^m \sum_{k=0}^{m} {-r \choose k}{-r \choose m-k}=(-1)^m {-2r\choose m}=\\={m+2r-1\choose m}}\)
gdzie w ostatniej równości ponownie skorzystałem z negacji górnego indeksu, tylko w drugą stronę.
Zatem gdy \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ r>0, \ p\in (0,1)}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład ujemny dwumianowy z tymi samymi parametrami oraz zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne, to \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ 2r, p}\).

Jak zmieni się rozumowanie, gdy jedna ze zmiennych ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ r_1, p}\), a druga – z parametrami \(\displaystyle{ r_2, p}\), gdzie \(\displaystyle{ r_1\neq r_2}\) To już pytanie do Ciebie.