X,Y i Z są niezależnymi zmiennymi

[max123321]

\(\displaystyle{ X,Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są niezależnymi rzeczywistymi zmiennymi losowymi, przy czym \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\), zaś \(\displaystyle{ Z}\) rozkład jednostajny \(\displaystyle{ [0,1]}\).

a) Obliczyć \(\displaystyle{ P(min(X,Y)<Z<max(X,Y)).}\)
b) Rozstrzygnąć czy to prawdopodobieństwo jest mniejsze niż \(\displaystyle{ 1/2}\).
c) Czy prawdopodobieństwo z punktu a) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 1/2}\), jeżeli założymy, że \(\displaystyle{ X,Y}\) mają rozkład \(\displaystyle{ X^2(n)}\)? Pozostałe założenia jak wyżej.

Jak zrobić chociaż część z tych podpunktów?

[Piotr Rutkowski]

Plan jest mniej więcej taki:
1) Najpierw zobacz ile wynosi \(\displaystyle{ P(min(X,Y)<z<max(X,Y))}\) dla zadanej liczby \(\displaystyle{ 0\leq z \leq 1}\) na podstawie wzoru na dystrubuantę i założenia o niezależności, bo warunek w nawiasie oznacza dokładnie tyle, że \(\displaystyle{ (X<z<Y)}\) lub \(\displaystyle{ Y<z<X}\)
2) Na podstawie informacji o rozkładzie jednostajnym powinieneś być w stanie zapisać prawdopodobieństwo z punktu 1 jako całkę po wzorze wyznaczonym powyżej.
3) Policz całkę, rachując na szybko wyszło mi \(\displaystyle{ 1+e^{-2}-2e^{-1}}\), ale sprawdź niezależnie. Potem oszacuj, czy wynik jest mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[max123321]

No wzór na dystrybuantę \(\displaystyle{ Z}\) to \(\displaystyle{ \frac{x-a}{b-a}}\),a dystrybuanta \(\displaystyle{ X,Y}\) to:
\(\displaystyle{ 1-e^{-1x}}\) i co dalej z tym?

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ P(X<z)=1-e^{-z}}\), a \(\displaystyle{ P(Y\geq z)=1-(1-e^{-z})=e^{-z}}\)
Dodatkowo, są to zdarzenia niezależne, więc prawdopodobieństwo przecięcia dwóch niezależnych zdarzeń to...
Drugi przypadek to oczywiście \(\displaystyle{ X\geq z}\) oraz \(\displaystyle{ Y<z}\)