Rozpatrzmy ciąg

[max123321]

Rozpatrzmy ciąg \(\displaystyle{ n}\) niezależynch rzutów monetą na której orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p,0<p<1}\). Niech \(\displaystyle{ X}\)-pozycja pierwszego orła(lub zero jeśli nie ma orłów), \(\displaystyle{ Y}\)-pozycja ostatniego orła (lub \(\displaystyle{ n+1}\) jeśli nie ma orłów). Wyznacz rozkłady \(\displaystyle{ X,Y}\) oraz łączny rozkład \(\displaystyle{ (X,Y)}\). Czy \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne?

Czy rozkład \(\displaystyle{ X}\) będzie wyglądał nastepująco?
\(\displaystyle{ P(X=0)=(1-p)^n,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)^2p,....,P(X=n)=(1-p)^{n-1}p}\)

??

[Premislav]

Zgadza się.

[max123321]

a rozkład \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ P(Y=1)=p(1-p)^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=2)=p(1-p)^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ P(Y=3)=p(1-p)^{n-3}}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ P(Y=n)=p}\)
\(\displaystyle{ P(Y=n+1)=(1-p)^{n}}\)
Zgadza się?

[Premislav]

Na to wygląda.

Co do niezależności, raczej nie są niezależne, np.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=n+1, X=0)=\mathbf{P}(X=0)=(1-p)^n \neq (1-p)^n\cdot (1-p)^n=\\=\mathbf{P}(Y=n+1)\cdot \mathbf{P}(X=0)}\)
gdyż \(\displaystyle{ p\in (0,1)}\).

[max123321]

A co to jest rozkład \(\displaystyle{ (X,Y)}\)?

[Premislav]

Jest to rozkład wektora losowego, którego rzutem na pierwszą oś jest \(\displaystyle{ X}\), a rzutem na drugą oś jest \(\displaystyle{ Y}\). Czy jakoś tak. To jak wektor, tylko współrzędnymi są zmienne losowe, a nie liczby (miałeś pewnie jakieś takie rzeczy, jak miary produktowe itd. no z tym to można skojarzyć).

\(\displaystyle{ \mathbf{P}((X,Y)=(k,l))=\mathbf{P}(X=k, Y=l)}\) dla \(\displaystyle{ 1\le k\le l\le n}\) to prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, że zarówno przez \(\displaystyle{ k}\), jak i po \(\displaystyle{ l}\) będą same reszki, zaś na k-tej i na l-tej pozycji wypadnie orzeł, to raczej nietrudno policzyć.
Ponadto oczywiście dla \(\displaystyle{ k>l}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k, Y=l)=0}\), bo pierwszy orzeł nie może wystąpić po ostatnim, no i zostaje jeszcze \(\displaystyle{ (0, n+1)}\), mamy \(\displaystyle{ X=0 \Leftrightarrow Y=n+1}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{P}((X,Y)=(0,n+1))=(1-p)^n}\) (to dokładnie takie zdarzenie, że nie wypadł żaden orzeł).

[max123321]

Aha czyli \(\displaystyle{ \mathbf{P}((X,Y)=(k,l))=\mathbf{P}(X=k, Y=l)}\) dla \(\displaystyle{ 1\le k\le l\le n}\) wynosi
\(\displaystyle{ (1-p)^{k-1} \cdot (1-p)^{n-k} \cdot p^2}\) tak?