Wariancja z minimum zmiennych z rozkładu jednostajnego

[Rain95]

Utknąłem w pewnym momencie w zadaniu z ubezpieczeń. Jak wyznaczyć wariancję zmiennej losowej o takiej postaci:
\(\displaystyle{ Y=\min (X_1,X_2,...,X_{100})}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) mają rozkład jednostajny \(\displaystyle{ (0,99)}\). Czyli \(\displaystyle{ VarX_i=816.75}\) oraz \(\displaystyle{ EX_i=49.5}\). Oczywiście \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne.

[Premislav]

Ja bym do tego podszedł od strony dystrybuanty i gęstości takiego minimum, ponieważ nie pamiętam gotowych wzorów. Niech \(\displaystyle{ y \in (0,99)}\). Mamy
\(\displaystyle{ F_Y(y)=\mathbf{P}(Y\le y)=\mathbf{P}(\mathrm{min}\left\{ X_1,\ldots X_{100}\right\}\le y)=\\=1-\mathbf{P}\left( \mathrm{min}\left\{ X_1, \ldots X_{100}\right\} >y\right) =1-\mathbf{P}(X_1>y, \ldots X_{100}>y)=\\=1- \prod_{i=1}^{100}\mathbf{P}(X_i>y)=1- \prod_{i=1}^{100}\left( 1-\mathbf{P}(X_i\le y)\right)}\),
natomiast \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_i\le y)=\frac{y}{99}}\) dla \(\displaystyle{ y \in (0,99)}\).
Czyli otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0 \text{ dla }y\le 0 \\ 1-\left( 1-\frac{y}{99}\right)^{100} \text{ dla } y \in (0,99)\\ 1 \text{ dla } y\ge 99\end{cases}}\)


Gęstość dostajemy przez zróżniczkowanie dystrybuanty w obrębie nośnika, koniec końców wynosi ona
\(\displaystyle{ f_Y(y)=\frac{100}{99}\left( 1-\frac y {99}\right)^{99} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,99)}(y)}\)

Stąd już nietrudno wyliczyć, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}Y= \int_{0}^{99}\frac{100}{99} y\left( 1-\frac y {99}\right)^{99} \,\dd y=\left|\begin{array}{cc}y=99t \\ \,\dd y=99\,\dd t\end{array}\right|=100\cdot 99 \int_{0}^{1}t\left( 1-t\right)^{99}\,\dd t}\)
a to jest funkcja beta, \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}t\left( 1-t\right)^{99}\,\dd t=\mathrm{B}(2, 100)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(100)}{\Gamma(102)}=\frac{1!99!}{101!}}\)
i podobnie robisz z \(\displaystyle{ \mathbf{E}Y^2}\) (to samo podstawienie i sprowadzasz do funkcji beta), a potem korzystasz z:
\(\displaystyle{ \mathrm{D^2}Y=\mathbf{E}Y^2-(\mathbf{E}Y)^2}\).

Być może są jakieś sprytniejsze wzorki na wariancję minimum korzystające np. z własności warunkowej wartości oczekiwanej czy jakichś sztuczek, ale nie pamiętam ich w tej chwili.

[Rain95]

Dziękuje bardzo za szybką odpowiedź ! Suma sumarum spróbowałem to ugryźć w ten sam sposób (na początku szukałem jakiegoś triku), z tym że końcowy wynik wyszedł mi inny (policzyłem całkę nie za pomocą funkcji beta). Wyszło mi \(\displaystyle{ EY= \frac{99}{101}}\), co potwierdził Wolfram.