Załóżmy, że ktoś proponuje nam grę i daje do wyboru udział w jednym z losowań. W pierwszym mamy \(\displaystyle{ 50 \%}\) szans, że wygramy złotówkę, w drugim zaś, jak w lotto \(\displaystyle{ 1:13983816}\), ale możemy tam wygrać aż 10 milionów złotych.
Pomijam koszty udziału w grze, załóżmy, że są zerowe. W którą grę lepiej zagrać? Czy znacie jakąś teorię, która by to rozstrzygała, może z zakresu teorii decyzji?
Ja przyjąłem następujące rozumowanie. Możemy policzyć ile razy musimy powtórzyć grę typu lotto, aby z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 50 \%}\) odnieść w niej sukces. Jeżeli prawdopodobieństwo zaistnienia pewnego zdarzenia, przy pojedynczej próbie wynosi \(\displaystyle{ p}\), a my podejmujemy próbę \(\displaystyle{ n}\) razy, to prawdopodobieństwo, że to zdarzenie nastąpi wynosi \(\displaystyle{ 1 - (1-p)^{n}}\). Przyrównujemy to do prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ k}\), z pierwszej gry i możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ n = \frac {\ln (1-k)}{\ln (1-p)}}\)
z tego możemy wywnioskować, że, gdybyśmy grali o złotówkę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1:13983816}\), to gra w lotto jest \(\displaystyle{ 9,69 \cdot 10^{6}}\) razy mniej opłacalna, albowiem grając o złotówkę tyle razy musielibyśmy powtórzyć tę grę, by osiągnąć prawdopodobieństwo wygranej \(\displaystyle{ 50 \%}\). Jeżeli jednak ktoś podniesie stawkę \(\displaystyle{ 9,69 \cdot 10^{6}}\) razy, to opłacalność dwóch gier się zrówna, zaś przy 10 milionach złotych, ta gra jest już nawet bardziej opłacalna.
Co myślicie o takim rozstrzyganiu tego rodzaju problemów decyzyjnych?