Ogony dążące do zera

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Bratka2406
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 gru 2017, o 09:21
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zgierz

Ogony dążące do zera

Post autor: Bratka2406 »

Dlaczego

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \int_{x}^{ \infty }t \cdot f(t)dt = 0 ?}\)

Wytłumaczenie z książki to "wartość oczekiwana z założenia jest skończona tj. ogony dążą do 0", ale nie wiem jak ta całka ma się do wartości oczekiwanej skoro \(\displaystyle{ EX= \int_{- \infty }^{ \infty }t \cdot f(t) dt}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ogony dążące do zera

Post autor: Premislav »

Rozważmy zmienne losowe \(\displaystyle{ X_n=X 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}(X>n), \ n=1,2,\ldots}\), wówczas
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X_n)= \int_{n}^{+\infty} tf(t)\,\dd t= \int_{0}^{+\infty}tf(t)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(n,+\infty)}(t)\,\dd t}\).
Zauważmy, że z założeń \(\displaystyle{ X_n\le |X|}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN, \ \omega \in \Omega}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|<\infty}\), a zatem z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{E}(X_n)=\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{+\infty}tf(t)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(n,+\infty)}(t)\,\dd t=\\= \int_{0}^{+\infty}\left( \lim_{n \to \infty}tf(t)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(n,+\infty)}(t) \right) \,\dd t= \int_{0}^{+\infty} 0 \,\dd t=0}\)

Odnotujmy zaś, że z uwagi na nieujemność \(\displaystyle{ tf(t)}\) w dodatnich (bo \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością) warunek \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{n}^{+\infty} tf(t)\,\dd t=0}\) jest równoważny warunkowi
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \int_{x}^{ \infty }t \cdot f(t)dt = 0}\).
ODPOWIEDZ