Prawdopodobieństwo warunkowe

[schihan]

Witam,

mam takie zadanie z prawdopodobieństwa warunkowego. Prosiłbym o rozwiązanie krok po kroku bo kompletnie mi to nie wychodzi.

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ P(A) < \frac{4}{7}}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B) > \frac{3}{8}}\) to \(\displaystyle{ P(A|B) < 0,2}\)

z góry dziękuję

[Premislav]

A to w ogóle prawda jest Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zdarzeniem pewnym oraz \(\displaystyle{ A}\) będzie takim zdarzeniem, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)=\frac 1 2}\), wówczas oczywiście warunki zadania są spełnione, a tymczasem \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)=\frac 1 2>0,2}\).

Chyba coś nie tak z treścią zadania.

[schihan]

Według mnie popełniłeś błąd w interpretacji. Przecież jeżeli zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) jest pewne, to jedyne zdarzenia elementarne ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) jakie mogą zajść, są te z podzbioru \(\displaystyle{ A \cap B}\), a nie jakiekolwiek zdarzenie elementarne z całego zbioru \(\displaystyle{ A}\). Czyli twoje założenie już nie spełnia warunków.

[Premislav]

To może celem edukacji forumowiczów:
Zdarzenie pewne – \(\displaystyle{ \Omega}\).
Zdarzenie prawie pewne – dowolne zdarzenie, które zachodzi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\).
W sumie mogłem napisać \(\displaystyle{ B=\Omega}\), ale nic to nie zmienia.
No to oczywiście \(\displaystyle{ A\cap \Omega=A}\).

-- 18 kwi 2018, o 12:00 --

Poza tym nawet gdybyś myślał, że zdarzenie pewne to zachodzące z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\), to i tak nic nie zmienia, ponieważ jeśli \(\displaystyle{ B\subset \Omega}\) spełnia \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=1}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ A\subset \Omega}\) jest \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B)=\mathbf{P}(A)}\).
Zapiszmy bowiem \(\displaystyle{ A=(A\cap B)\cup(A\setminus B)}\) (rozłączna suma), wtedy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A\cap B)\le \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(A\cap B)+\mathbf{P}(A\setminus B) \le \mathbf{P}(A \cap B)+\mathbf{P}(B')=\\=\mathbf{P}(A\cap B)+1-\mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(A\cap B)}\)

Treść jest do bani, tyle. Może gdzieś miała być jakaś nierówność w drugą stronę, a może jakieś dane pominięto, nie będę zgadywać.-- 18 kwi 2018, o 12:11 --Chociaż tutaj założyłem, że nasze sigma-ciało \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest równe \(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\), a tak wcale nie musi być Tak że dla pewnych podzbiorów prawdopodobieństwo mogłoby w ogóle nie być określone. No to \(\displaystyle{ A, B \in \mathcal{F}}\) itd. Ale jak ktoś nie kojarzy, co to jest zdarzenie pewne, to nie pora raczej na rozważania o sigma-ciałach.

[schihan]

Oki, dzięki wielkie. Temat do zamknięcia.