Zmienne losowe ciągłe- dystrybuanta i gestość

[zajaczek1234]

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem

Dla jakich \(\displaystyle{ a, b}\) oraz \(\displaystyle{ c}\) funkcja określona wzorem

\(\displaystyle{ F \left( x \right) = \begin{cases} 0 &\mbox{dla }x \le 0\\a \sin \left( x \right) &\mbox{dla } x \in \left( 0, b \right] \\c&\mbox{dla } x > b \end{cases}}\)

jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi}\) typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość rozkładu
prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Obliczyć \(\displaystyle{ P \left( \xi\in \left( -1, \frac{b}{2} \right) \right)}\).

[Premislav]

Dystrybuanta powinna być niemalejąca, prawostronnie ciągła, mieć granicę równą \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ -\infty}\) oraz równą \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ +\infty}\). Dystrybuanta zmiennej losowej typu ciągłego dodatkowo powinna co najmniej być ciągła (tak naprawdę to powinna być różniczkowalna prawie wszędzie).

Warunek
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} F(x)=0}\) mamy za darmo, bez żadnego rozumowania.
Warunek
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}F(x)=1}\) daje nam \(\displaystyle{ c=1}\).

Warunek ciągłości dystrybuanty wymusza
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} a\sin(x)=0}\) (to akurat zachodzi niezależnie od \(\displaystyle{ a}\))
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x \to b^+}1=a\sin(b)}\),
czyli
\(\displaystyle{ \sin(b)=\frac 1 a}\)
Ponadto w szczególności \(\displaystyle{ a\sin(x)}\) musi być funkcją rosnącą w przedziale \(\displaystyle{ (0,b)}\), zatem mamy \(\displaystyle{ a>0}\), a ponadto \(\displaystyle{ 0<b\le \frac{\pi}{2}}\).
Można stąd też wywnioskować, że \(\displaystyle{ a in [1,+infty)}\).
Podsumowując, musi być spełniony układ warunków:
\(\displaystyle{ c=1, \ a\in \left[ 1,+\infty\right), \ b \in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right], \ \sin(b)=\frac 1 a}\)

Gęstość wyznaczasz, różniczkując dystrybuantę. Dalej sobie powinnaś poradzić.

[zajaczek1234]

Premislav, Dziękuję bardzo!