Losowanie do spełnienia warunku

[adinversion]

W urnie znajduje się \(\displaystyle{ 6}\) kul ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\). Losujemy bez zwracania kolejno tak długo, aż suma numerów przekroczy \(\displaystyle{ 8}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy losować \(\displaystyle{ 2}\) razy?

Da się te zadanie zrobić elegancko, nie wypisując wszystkich możliwości? Bo wychodzi ich parę stron a4 i coś czuję, że się pomyliłem, a jednak na pewno jest jakieś inteligentne podejście do sprawy...

[kropka+]

W jednym losowaniu nie da się przekroczyć \(\displaystyle{ 8}\). Losujemy dwa razy i mamy \(\displaystyle{ 6 \cdot 5=30}\) możliwych wyników. Suma liczb przekracza \(\displaystyle{ 8}\) gdy wylosujemy \(\displaystyle{ (3.6);(4,5);(4,6);(5,4);(5,6);(6,3);(6,4);(6,5)}\).

[Rafsaf]

Zgodzę się kropka+ ale jeśli zdefinujemy
\(\displaystyle{ B_1}\)- zdarzenie polegające na wylosowaniu kul których suma numerów jest większa od \(\displaystyle{ 8}\)
\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie polegające na wylosowaniu kul których suma numerów jest większa od \(\displaystyle{ 8}\) w dwóch losowaniach

to interesuje nas \(\displaystyle{ A}\) pod warunkiem że \(\displaystyle{ B_1}\)

1. W dwóch losowaniach mamy jak wyżej, \(\displaystyle{ 8}\) sposobów
2. W trzech losowaniach:
Weźmy wszystkie możliwe ciągi \(\displaystyle{ 3}\)-elementowe, będzie ich \(\displaystyle{ 120}\), ale jednocześnie część przypadków należy odrzucić, bo przecież jeśli będzie \(\displaystyle{ (3,6,x)}\) to będą 2 losowania(1 przypadek) a nie 3 o które nam chodzi.
Ciągów \(\displaystyle{ (3,6,x)}\) jest \(\displaystyle{ 4}\), analogicznie ciągów \(\displaystyle{ (4,5,x)}\) jest również \(\displaystyle{ 4}\), ogólnie odrzucamy \(\displaystyle{ 8 \cdot 4=32}\)
Teraz popatrzmy że po 2 rzutach mogliśmy uzyskać równie dobrze sumy
\(\displaystyle{ 3 \leftarrow 2}\) sposoby
\(\displaystyle{ 4 \leftarrow 2}\) sp
\(\displaystyle{ 5 \leftarrow 4}\) sp
\(\displaystyle{ 6 \leftarrow 4}\) sp
\(\displaystyle{ 7 \leftarrow 6}\) sp
\(\displaystyle{ 8 \leftarrow 4}\) sp
*Zatem aby w 3 rzucie nie było sumy większej od \(\displaystyle{ 8}\) to mając odpowiednie sumy z (po lewej)możemy wyrzucać na odpowiednio:
\(\displaystyle{ 3 \leftarrow 2 \cdot 3}\) sp
\(\displaystyle{ 4 \leftarrow 2 \cdot 2}\) sp
\(\displaystyle{ 5 \leftarrow 2 \cdot 1+2 \cdot 2}\) sp
\(\displaystyle{ 6 \leftarrow 2 \cdot 1+2 \cdot 2}\) sp
\(\displaystyle{ 7 \leftarrow 2 \cdot 1+2 \cdot 1}\) sp
czyli \(\displaystyle{ 26}\) przypadków
czyli dla przypadku drugiego jest \(\displaystyle{ 120-32-26=62}\) możliwości

3. W czterech losowaniach mamy tylko jeden przypadek, kiedy w trzech poprzednich losowaniach mieliśmy sumę mniejszą równą \(\displaystyle{ 8}\) (oznaczone *) czyli \(\displaystyle{ 26}\) możliwości, zaś ostatnia niech już będzie jaka chce, łącznie \(\displaystyle{ 26 \cdot 3=78}\) możliwości

No i szukane \(\displaystyle{ P(A)= \frac{8}{8+62+78}= \frac{2}{37}}\)

Jako, że jest późno, to pewnie jest to wszystko źle(choć to raczej żadna różnica), no ale, próbować trzeba.